[論文レビュー] Limit measures of inhomogeneous discrete-time quantum walks in one dimension

Norio Konno, Tomasz Łuczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原点に1つの欠陥を有する1次元非一様な離散時間量子ウォークについて、時間平均化、弱極限、定常測度の3つの極限測度を調査する。経路数え上げ法とスペクトル解析を用い、このウォークが普遍的弱極限測度形を持つ普遍性クラスに属することを確立し、特定の初期状態がハダマードウォークの均一な定常測度および欠陥モデルの時間平均化極限測度をもたらすことを示す。

ABSTRACT

We treat three types of measures of the quantum walk (QW) with the spatial perturbation at the origin, which was introduced by [1]: time averaged limit measure, weak limit measure, and stationary measure. From the first two measures, we see a coexistence of the ballistic and localized behaviors in the walk as a sequential result following [1,2]. We propose a universality class of QWs with respect to weak limit measure. It is shown that typical spatial homogeneous QWs with ballistic spreading belong to the universality class. We find that the walk treated here with one defect also belongs to the class. We mainly consider the walk starting from the origin. However when we remove this restriction, we obtain a stationary measure of the walk. As a consequence, by choosing parameters in the stationary measure, we get the uniform measure as a stationary measure of the Hadamard walk and a time averaged limit measure of the walk with one defect respectively.

研究の動機と目的

• 原点における空間的非一様性を有する1次元量子ウォークの長時間挙動を特徴づけること、特に局在化とボールスティック拡散の共存に注目すること。
• 原点に1つの欠陥を有する量子ウォークが、特定の弱極限測度形を持つ既知の普遍性クラスに属するかどうかを同定すること。
• 初期状態が原点に制限されていない場合のウォークに対する定常測度を導出すること。
• ハダマードウォークの均一測度に還元されるか、または欠陥モデルの時間平均化極限測度と一致するような初期状態のもとで、定常測度が成立する条件を確立すること。

提案手法

• 経路数え上げ法を適用し、通過重みの母関数を計算することで、時間平均化および弱極限測度の正確な解析を可能にする。
• 時間発展演算子 $U^{(s)}$ のスペクトル理論および固有ベクトル解析を用いて、一般の初期状態に対する定常測度を導出する。
• 普遍的弱極限測度形を用いる：$\mu(dx) = C\delta_0(x) + w(x)f_K(x;r)\,dx$、ここで $f_K$ はパrameter $r \in (0,1)$ を持つ半円型密度関数である。
• 原点から出発するウォークの漸近的挙動を分析することで、時間平均化極限測度の明示的表現を導出する。
• 無限大の空間的スピンを持つ初期状態を選び、発展演算子 $U^{(s)}$ の固有ベクトルとすることで、定常測度を構成する。
• 欠陥ウォークの時間平均化極限測度を正確に再現できるように、定常測度のパrameterを調整し、特定の初期条件のもとで等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点に1つの欠陥を有する量子ウォークは、普遍的弱極限測度形を持つ量子ウォークの普遍性クラスに属するか？
• RQ2 初期状態が原点に局在化していない場合に、このウォークに対する定常測度を導出できるか？
• RQ3 ハダマードウォークにおいて、定常測度が均一測度に還元される条件は何か？
• RQ4 特定の初期状態を用いることで、欠陥ウォークの時間平均化極限測度を定常測度によって正確に再現できるか？
• RQ5 ボールスティックおよび局在的挙動が共存する場合、時間平均化および弱極限測度にどのように現れるか？

主な発見

• 欠陥を有するウォークは、弱極限測度 $\mu(dx) = C\delta_0(x) + w(x)f_K(x;r)\,dx$ を持つ普遍性クラスに属し、$C \in [0,1)$ であるため、普遍的な漸近的挙動が確認された。
• 初期状態を $U^{(s)}$ の固有ベクトルと選び、$|\phi_0^{(L)}|^2 = \overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0,L)}(0)$ および $|\phi_0^{(R)}|^2 = \overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0,R)}(0)$ とすると、定常測度は時間平均化極限測度と完全に一致する。
• ハダマードウォークにおいて、$|\phi_0^{(L)}|^2 = |\phi_0^{(R)}|^2 = c/2$ および $\omega = 0$ を選ぶと、すべての $x \in \mathbb{Z}$ に対して均一な定常測度 $\mu_I^{(\widetilde{\Psi}_0)}(x) = c$ が得られる。
• 原点における時間平均化極限測度は明示的に計算され、$\overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0)}(0) = \left(\frac{1 - \cos\omega}{3 - 2\cos\omega}\right)^2 \left(1 \pm \frac{\sin\omega}{1 + \sin^2\omega}\right)$ と表され、ヘリシティに依存する。
• 一般の初期状態に対する導出された定常測度は、$|x|$ に関して指数的減衰を示し、振幅は $\frac{1}{3 - 2\cos\omega}$ で調節され、ヘリシティ依存係数によって変調される。
• 無限大のサポートを持つ定常測度の存在により、通常は欠陥点から出発する場合に局在化が生じる系であっても、局在化を回避できることが可能となる。