[論文レビュー] Limit of Gaussian and normal curvatures of surfaces in Riemannian approximation scheme for sub-Riemannian three dimensional manifolds and Gauss-Bonnet theorem

José M. M. Veloso|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Riemann近似の極限を取ることで、3次元の部分Riemann多様体内の曲面に対するGauss-Bonnet定理を確立する。$<,>_{L}$ という、$L \to \infty$ のとき部分Riemann構造に退化する一連の計量を用い、Gaussian曲率 $K$ と法曲率 $k_n$ が、関数 $A$ のみに依存する明確な極限に収束することを示し、部分Riemann版Gauss-Bonnet公式 $ abla_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$ を得る。主な結果は、内在的な部分Riemann設定において有効な幾何学的Gauss-Bonnet定理である。

ABSTRACT

The authors Balogh-Tyson-Vecchi in arXiv:1604.00180 utilize the Riemannian approximations scheme $(\mathbb H^1,_L)$, in the Heisenberg group, introduced by Gromov, to calculate the limits of Gaussian and normal curvatures defined on surfaces of $\mathbb H^1$ when $L ightarrow\infty$. They show that these limits exist (unlike the limit of Riemannian surface area form or length form), and they obtain Gauss-Bonnet theorem in $\mathbb H^1$ as limit of Gauss-Bonnet theorems in $(\mathbb H^1,_L)$ when $L$ goes to infinity. This construction was extended by Wang-Wei in arXiv:1912.00302 to the affine group and the group of rigid motions of the Minkowski plane. We generalize constructions of both papers to surfaces in sub-Riemannian three dimensional manifolds following the approach of arXiv:1909.13341, and prove analogous Gauss-Bonnet theorem.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク群やアフィン群におけるRiemann近似からのGauss-Bonnet定理を、任意の3次元部分Riemann多様体へ一般化すること。
• Riemann近似スキーム $<,>_{L}$ における曲面のGaussian曲率および法曲率の極限を定義・解析すること、$L \to \infty$ のとき。
• 極限曲率およびHausdorff測度を用いて、部分Riemann版Gauss-Bonnet公式を導出すること。
• 極限曲率 $K$ および $k_n$ が、水平分布と曲面の間の角度を符号化する関数 $A$ のみに依存することを示すこと。

提案手法

• 接バンドル上に一意パラメータ族のRiemann計量 $<,>_{L}$ を構成し、$e_1, e_2$ を正規直交基底とし、$e_3^L = e_3 / \sqrt{L}$ とすることで、Levi-Civita接続 $\overline{\nabla}^L$ が定義されるようにする。
• 曲面 $S$ 上に正規直交基底 $X_2^L = f_2$, $X_3^L = f_3 / \sqrt{L + A^2}$ を定義し、$<,>_{L}$ 計量における法ベクトル $X_1^L$ を計算する。
• 誘導接続 $\nabla^L$ を用いて、$S$ 上のRiemannのGaussian曲率 $K^L$ と法曲率 $k_n^L$ を計算し、$L \to \infty$ の極限を取る。
• 極限で $\lim_{L\to\infty} K^L = K = -dA(f_2) - A^2$ および $\lim_{L\to\infty} k_n^L = k_n = \frac{y}{|y|}A$ が成り立つことを示し、ここで $A$ は水平分布と曲面の分布の間の角度に関連する関数である。
• 極限面積形式 $d\sigma = f^2 \wedge f^3$ と長さ形式 $ds = \frac{y}{|y|}f^3$ を、$d\sigma_L$ および $ds_L$ を $1/\sqrt{L}$ でスケーリングすることで定義し、Hausdorff測度を回復する。
• 極限形式にストークスの定理を適用し、Gauss-Bonnet公式 $ abla_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-Riemann近似スキームを介して、部分Riemann多様体における3次元Gauss-Bonnet定理が、Riemann版Gauss-Bonnet定理の極限として得られるか。
• RQ2 面積および長さ要素が収束しないにもかかわらず、$<,>_{L}$-近似スキームにおいて、曲面のGaussian曲率および法曲率が $L \to \infty$ 時に収束するか。
• RQ3 Gaussian曲率 $K$ の明示的極限表現は、曲面および部分Riemann構造の幾何的データを用いてどのように表されるか。
• RQ4 横断的曲線の法曲率 $k_n$ の極限表現は何か。また、関数 $A$ とどのように関係するか。
• RQ5 極限曲率およびHausdorff測度を用いて、部分Riemann設定において一貫性のあるGauss-Bonnet公式を定式化できるか。

主な発見

• $<,>_{L}$-近似スキームにおけるGaussian曲率 $K^L$ の極限は存在し、$K = -dA(f_2) - A^2$ に等しい。ここで $A$ は水平分布と曲面の間の角度を符号化する関数である。
• 法曲率 $k_n^L$ の極限は存在し、$k_n = \frac{y}{|y|}A$ に等しい。これは $A$ と曲線の方向にのみ依存する。
• 曲面上の極限面積形式は $d\sigma = f^2 \wedge f^3$ であり、部分Riemann計量における内在的Hausdorff測度と一致する。
• 横断的曲線の極限長さ形式は $ds = \frac{y}{|y|}f^3$ であり、同様にHausdorff測度と一致する。
• 部分Riemann極限におけるGauss-Bonnet公式は $\int_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$ であり、極限形式にストークスの定理を適用することで導出される。
• この結果は、ヘイゼンベルク群やアフィン群における以前のGauss-Bonnet定理を、接触構造を持つ任意の3次元部分Riemann多様体へ一般化する。