[論文レビュー] Limit Theorems for Marked Hawkes Processes with Application to a Risk Model

Dmytro Karabash, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、確率的マークを伴う線形マーク付きハーケス過程に対して、大偏差原理と中心極限定理を確立し、限界定理をマーク付き点過程へ拡張する。主な貢献は、正規化された数え上げ過程に対する厳密な大偏差レート関数の確立であり、マークが指数分布に従う場合に明示的な式が導出可能となる。これにより、リスクモデリングや ruin 確率の分析への応用が可能になる。

ABSTRACT

This paper focuses on limit theorems for linear Hawkes processes with random marks. We prove a large deviation principle, which answers the question raised by Bordenave and Torrisi. A central limit theorem is also obtained. We conclude with an example of application in finance.

研究の動機と目的

• 未マークのハーケス過程からマーク付きハーケス過程への限界定理（特に大偏差および中心極限定理）の拡張。
• ボルデナーヴおよびトレシッシが提起した、マーク付きハーケス過程における大偏差に関する問題の解決。
• 特に保険および金融分野におけるマーク付きハーケス過程の応用のための理論的基盤の構築。
• マーク分布が指数分布の場合の、大偏差レート関数の明示的表現の導出。
• マーク付きハーケス過程によって駆動されるリスクモデルにおける ruin 確率の漸近的挙動の分析。

提案手法

• マーク付きハーケス過程を、$\lambda_t = \nu + \sum_{\tau_i < t} h(t - \tau_i, a_i) $ で定義される点過程として形式化し、$a_i$ を分布 $q(da)$ に従う i.i.d. マークとする。
• 条件 $\int_{\mathbb{X}} H(a) q(da) < 1$ の下で、定常バージョンの存在および一意性を確立する。ここで $H(a) = \int_0^\infty h(t,a) dt$ である。
• マルティンゲール技法および関数中心極限定理の議論を用いて、$N_t/t$ に対する中心極限定理を証明する。
• 累積モーメント母関数 $\Gamma(\theta)$ の分析と G"{a}rtner-Ellis 定理の適用により、$N_t/t$ に対する大偏差原理を導出する。
• 縮約原理およびプロセスレベルの大偏差技法を用いて、レート関数 $I(x) = \sup_\theta \{ \theta x - \Gamma(\theta) \}$ を導出する。
• 確率的請求到着とマーク付きハーケス過程による依存性を有するリスクモデルに結果を適用し、無限および有限時間の ruin 確率を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形マーク付きハーケス過程における正規化された数え上げ過程 $N_t/t$ に対する大偏差原理は何か？
• RQ2 確率的マークの存在が、未マークの場合と比較してハーケス過程の中心極限定理にどのように影響を与えるか？
• RQ3 マーク分布が指数分布の場合に、大偏差レート関数の明示的表現を導出できるか？
• RQ4 請求到着がマーク付きハーケス過程に従うリスクモデルにおける漸近的 ruin 確率は何か？
• RQ5 純利益条件および請求額の尾部挙動が ruin 確率の減衰率にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $N_t/t$ に対する大偏差原理が確立され、レート関数 $I(x) = \sup_\theta \{ \theta x - \Gamma(\theta) \}$ を持つ。ここで $\Gamma(\theta)$ はプロセスの累積モーメント母関数から導出される。
• マークがパラメータ $\lambda$ の指数分布に従う場合、レート関数は $x \geq 0$ に対して明示的な形で $I(x) = x\log\left(\frac{-2x^2 + x\sqrt{4x^2 + \nu^2(\lambda+1)^2}}{\lambda\nu^2}\right) - \nu\left(\frac{1}{2}\{\lambda+1 - \frac{-2x + \sqrt{4x^2 + \nu^2(\lambda+1)^2}}{\nu}\} - 1\right)$ をとる。
• 請求額がパラメータ $\gamma$ の指数分布に従う場合、無限時間の ruin 確率は $\lim_{u\to\infty} \frac{1}{u}\log\psi(u) = -\theta^\dagger$ を満たす。ここで $\theta^\dagger$ は $\rho$, $\nu$, $\gamma$, $\lambda$ を含む二次方程式の解である。
• 有限時間の ruin 確率の漸近的性質は、請求額分布の尾指数 $\alpha$ を用いて導出され、正規変動およびワイブル尾部を持つ請求額に対して明示的な式が得られる。
• 無限時間の ruin 確率はレート $\theta^\dagger$ で指数的に減少し、純利益条件の下で $\lim_{u\to\infty} \frac{\psi(u)}{\overline{B}_0(u)} = \frac{\nu\mathbb{E}[C_1]}{\rho(1 - \mathbb{E}^q[H(a)]) - \nu\mathbb{E}[C_1]}$ が成立する。
• 中心極限定理により、$\frac{N_{\cdot t} - \cdot \mu t}{\sqrt{t}} \Rightarrow \sigma B(\cdot)$ が $D[0,1]$ 上で弱収束する。ここで $\mu = \frac{\nu}{1 - \mathbb{E}^q[H(a)]}$ および $\sigma^2 = \frac{\nu}{(1 - \mathbb{E}^q[H(a)])^3}$ である。