[論文レビュー] Limit theorems for stationary increments Lévy driven moving averages

Andreas Basse-O’Connor, Raphaël Lachièze-Rey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高頻度サンプリング下での定常增量 Lévy 駆動型移動平均過程における k 階差分のパワー変動に関する極限定理を確立する。主な貢献は、差分の順序 k、パワー p、Lévy過程の Blumenthal–Getoor 細分 β、および核関数 g の原点近傍における局所的挙動 α の相乗的相互作用に応じて、安定収束、エルゴディック型極限、または確率的に収束するという、新たな漸近的挙動の分類を提示することにある。

ABSTRACT

In this paper we present some new limit theorems for power variation of $k$th order increments of stationary increments Lévy driven moving averages. In this infill sampling setting, the asymptotic theory gives very surprising results, which (partially) have no counterpart in the theory of discrete moving averages. More specifically, we will show that the first order limit theorems and the mode of convergence strongly depend on the interplay between the given order of the increments, the considered power $p>0$, the Blumenthal-Getoor index $β\in (0,2)$ of the driving pure jump Lévy process $L$ and the behaviour of the kernel function $g$ at $0$ determined by the power $α$. First order asymptotic theory essentially comprise three cases: stable convergence towards a certain infinitely divisible distribution, an ergodic type limit theorem and convergence in probability towards an integrated random process. We also prove the second order limit theorem connected to the ergodic type result. When the driving Lévy process $L$ is a symmetric $β$-stable process we obtain two different limits: a central limit theorem and convergence in distribution towards a $(1-α)β$-stable random variable.

研究の動機と目的

• 高頻度サンプリング下での定常増分 Lévy 駆動型移動平均過程における k 階差分のパワー変動に関する包括的な漸近理論の構築。
• 極限分布および収束モードが核関数の局所的挙動（α）、Lévy過程の Blumenthal–Getoor 細分（β）、パワー p、および差分の順序 k にどのように依存するかの特定。
• 第一および第二階層の極限定理（特に対称 β 稳健 Lévy過程における中心極限定理および安定極限）の確立。
• 分数 Lévy過程および Lévy 半定常過程におけるパワー変動に関する既存結果を統一的枠組みで高頻度漸近論に拡張すること。
• このような移動平均から構築された確率過程における未知パラメータ α および β に関する統計的推論の理論的基盤の提供。

提案手法

• 二項係数を用いて、隣接するサンプリング点における X の線形結合として k 階差分 Δⁿᵢ,ₖX を定義する。
• p > 0 に対してパワー変動関数 V(p;k)ₙ = ∑ᵢ₌ₖⁿ |Δⁿᵢ,ₖX|ᵖ を導入し、サンプリング周波数の増加に伴う漸近的挙動を分析する。
• 核関数 g(t) ∼ c₀tᵃ (t↓0) の正則変動性および Lévy 測度と g−g₀ の可積分性条件を規定する仮定 (A) の下で漸近的結果を確立する。
• 確率積分およびクラウス展開技術を用いて極限挙動を分析し、特に Lévy過程の Blumenthal–Getoor 細分 β の果たす役割に注目する。
• モーメント推定および核関数と Lévy 密度を含む積分のバウンドを用いてモーメントの収束を制御し、tightness を確立する。
• エルゴディック型収束の場合の第二階層極限定理を、精緻な漸近展開およびモーメント収束の議論を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パワー変動 V(p;k)ₙ の漸近的挙動は、差分の順序 k、パワー p、駆動 Lévy過程の Blumenthal–Getoor 細分 β、および核関数 g の局所的挙動 α の相乗的相互作用にどのように依存するか？
• RQ2 高頻度極限における正規化されたパワー変動の収束モード（安定収束、確率収束、エルゴディック型）として可能なものは何か？
• RQ3 駆動 Lévy過程が対称 β 稳健の場合、極限分布は何か？ これは非安定の場合とどのように異なるか？
• RQ4 エルゴディック型収束の状態において第二階層極限定理を確立できるか？ また、これによりフラクチュエーションスケールはどのように特定されるか？
• RQ5 古典的離散移動平均の極限定理とはどのように異なるか？ 連続時間・高頻度設定において新たに現れる現象は何か？

主な発見

• 第一階層極限定理は、安定収束によるインфинイットディビジブル分布への収束、エルゴディック型収束、および確率的収束による統合確率過程への収束という三つの明確な領域を示す。
• 対称 β 稜的 Lévy 過程の場合、パワー変動は二つの異なる極限を示す：中心極限定理および (1−α)β 稜的確率変数への分布収束。
• 収束モードおよび極限分布は α, β, p, k 間の関係に強く依存しており、これらのパラメータの臨界値において段階的転移が発生する。
• エルゴディック型収束の場合の第二階層極限定理が確立され、フラクチュエーションスケールが n⁻¹/² のオーダーであり、正規分布に収束することが示された。
• 結果は、離散移動平均理論に欠落している新たな漸近的現象を明らかにしている。特に、安定収束領域および非ガウス型極限の出現が顕著である。
• 核関数の原点近傍における正則変動性（g(t) ∼ c₀tᵃ）と Lévy 過程の Blumenthal–Getoor 細分 β が、収束速度および極限分布を共同で決定し、α と β がスケーリングおよび安定性の二重の役割を果たす。