[論文レビュー] Limit theorems for sums of products of consecutive partial quotients of continued fractions

Hui Hu, Mumtaz Hussain+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連分数展開における連続する部分商の積の和 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x) に対する弱法則および強法則の大数の法則を確立する。Sn(x)/(n log²n) は測度収束およびほとんど everywhere 収束し、1/(2 log 2) に収束する。また、さまざまな関数 φ に対して、レベル集合 E(φ) = {x : lim Sn(x)/φ(n) = 1} のハウスドルフ次元を特定し、φ(n) = eⁿᵞ かつ 0 < γ < 1/2 のとき次元は 1、φ(n) = e^{αn} かつ α > 1 のとき次元は 1/(1+α)、φ(n) = eⁿᵞ かつ γ ≥ 1/2 のとき次元は 1/2 であることを示す。

ABSTRACT

Let $[a_1(x),a_2(x),\ldots, a_n(x), \ldots]$ be the continued fraction expansion of an irrational number $x\in (0, 1)$. The study of the growth rate of the product of consecutive partial quotients $a_n(x)a_{n+1}(x)$ is associated with the improvements to Dirichlet's theorem (1842). We establish both the weak and strong laws of large numbers for the partial sums $S_n(x)= \sum_{i=1}^n a_i(x)a_{i+1}(x)$ as well as, from a multifractal analysis point of view, investigate its increasing rate. Specifically, we prove the following results: \medskip \begin{itemize} \item For any $\epsilon>0$, the Lebesgue measure of the set $$\left\{x\in(0, 1): \left|\frac{ S_n(x)}{n\log^2 n}-\frac1{2\log2} ight|\geq \epsilon ight\}$$tends to zero as $n$ to infinity. \item For Lebesgue almost all $x\in (0,1)$, $$\lim\limits_{n ightarrow \infty} \frac{S_n(x)-\max\limits_{1\leq i \leq n}a_i(x)a_{i+1}(x)}{n\log^2n}=\frac{1}{2\log2}.$$ \item The Hausdorff dimension of the set $$E(\phi):=\left\{x\in(0,1):\lim\limits_{n ightarrow \infty}\frac{S_n(x)}{\phi(n)}=1 ight\}$$ is determined for a range of increasing functions $\phi: \mathbb N o \mathbb R^+$. \end{itemize}

研究の動機と目的

• x ∈ (0,1) の連分数展開における連続する部分商の積の和 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x) に対する弱法則および強法則の大きな数の法則を確立すること。
• ハウスドルフ次元を用いた多スケール的およびフラクタル幾何学的視点から、Sn(x) の増加速度を分析すること。
• さまざまな増加関数 φ に対して、レベル集合 E(φ) = {x ∈ (0,1) : limₙ→∞ Sn(x)/φ(n) = 1} のハウスドルフ次元を特定すること。
• ディリクレの近似定理の改善に動機づけられ、部分商の和の古典的結果を、その積の和へと拡張すること。

提案手法

• 非 L¹ 可測関数 Ψ(x) = a₁(x)a₂(x) のエゴド的和として Sn(x) を扱う、エルゴディック理論および無限測度論的技法の使用。
• 連分数の力学をモデル化し、部分商 aₙ(x) = a₁(Tⁿ⁻¹(x)) を定義するためにガウス写像 T(x) = {1/x} を適用すること。
• ai(x)ai₊₁(x) > Φ(n) が無限回にわたって成り立つ集合のルベーグ測度を分析するため、Borel–Cantelli補題および log Φ(n)/Φ(n) を含む級数の収束基準を適用すること。
• dyadic区間を用いたカントール型部分集合の構成と、関数 ψ(n) を用いた区間長の精密な制御により、ハウスドルフ次元を推定すること。
• δ(n) = #{(a,b) : ab = n} およびその評価 δ(n) ≤ c_ε n^ε を用いて、ab = m を満たすペア (a,b) の数を制御すること。
• 文献[21]の補題5.5を整数の和の分解に応用し、レベル集合の s 次元ハウスドルフ測度を推定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n → ∞ のとき、和 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x) のほとんど確実な漸近的挙動は何か？
• RQ2 どの関数 φ に対して、レベル集合 E(φ) = {x : limₙ→∞ Sn(x)/φ(n) = 1} が正のハウスドルフ次元をもつか？
• RQ3 φ(n) = eⁿᵞ や φ(n) = e^{αn} のとき、E(φ) のハウスドルフ次元は φ(n) の増加率にどのように依存するか？
• RQ4 Sn(x) を適切に正規化することで、ほとんど確実に有限で非ゼロの定数に収束させることができるか？ もしそうならば、適切な正規化は何か？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、{x ∈ (0,1) : |Sn(x)/(n log²n) − 1/(2 log 2)| ≥ ε} のルベーグ測度は n → ∞ のとき 0 に収束する。これは弱法則の大きな数の法則を確立する。
• ルベーグ測度 1 の x ∈ (0,1) に対して、limₙ→∞ (Sn(x) − max₁≤ᵢ≤ₙ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x)) / (n log²n) = 1/(2 log 2) が成り立つ。最大項を除いた後、強法則の大きな数の法則が成立する。
• φ(n) = eⁿᵞ かつ 0 < γ < 1/2 のとき、dimₕ E(φ) = 1 である。
• φ(n) = e^{αn} かつ α > 1 のとき、dimₕ E(φ) = 1/(1 + α) である。
• φ(n) = eⁿᵞ かつ γ ≥ 1/2 のとき、dimₕ E(φ) = 1/2 である。
• φ(n) = eⁿᵞ のとき、γ = 1/2 において関数 φ ↦ dimₕ E(φ) は不連続であり、レベル集合のフラクタル構造における相転移を反映している。