[論文レビュー] Limitations to mollifying $\zeta(s)$

Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ディリクレ多項式を用いたリーマン・ゼータ関数 ζ(s) の臨界線における滑らか化（ mollifying ）の根本的限界を確立する。非条件的下界 𝒪(1/θ) を mollified moment 積分 𝒫(Mθ) に対して示しており、長さ T^θ のいかなる滑らか化子に対しても、この積分が 1/θ より著しく小さくはならないことを示している。θ が大きくても同様に成り立つ。リーマン予想およびペア相関予想の下では、下界が (1+o(1))/(0.5+θ) に改善され、零点分布との非自明な関係が明らかになる。

ABSTRACT

We establish limitations to how well one can mollify the Riemann zeta-function on the critical line with mollifiers of arbitrary length. Our result gives a non-trivial lower bound for the contribution of the off-diagonal terms to mollified moments of \\zeta(s). On the Riemann Hypothesis, we establish a connection between the mollified moment and Montgomery's Pair Correlation Function.

研究の動機と目的

• 臨界線上における滑らか化された L² モーメント ∫|1−ζ(1/2+it)M(1/2+it)|²dt/T の最良の下界を特定すること。
• 長さ T^θ（θ>1）のより長い滑らか化子が、古典的滑らか化子 Lθ が達成する既知の下界 𝒪(1/θ) より著しく改善できるかを調査すること。
• リーマン予想の下で、滑らか化されたモーメントとモンゴメリーのペア相関関数との関係を調査すること。
• θ<1/2 の場合に、古典的滑らか化子 Lθ が滑らか化されたモーメントを最小化することを確立すること。
• 零点分布が滑らか化の有効性を制限する役割を理解すること。

提案手法

• 滑らか化子の有効性の尺度として、積分 𝒫(Mθ) = (1/T)∫_T^{2T} |1−ζ(1/2+it)Mθ(1/2+it)|²dt を用いる。
• θ<1/2 の場合に、Balasubramanian-Conrey-Heath-Brown の漸近公式を適用し、下界 1/θ+o(1) を導出する。
• 算術関数および乗法的係数を含む三つの二次形式 S₁, S₂, S₃ にモーメントを分解する。
• コーシー・シュワルツ不等式を適用し、乗法的関数に関する和の推定を用いて S₁ および S₂ を評価し、それらが主要項に対して小さいことを示す。
• 恒等式 ∑_{p^αℓ≤N} (log p)/p^α · φ(ℓ)/ℓ² · z(ℓ)z(p^αℓ) ≈ −1 + O((log log N)/log N) を用いて主要項 S₃ を評価する。
• すべての推定値を組み合わせ、非条件的下界 𝒫(Mθ) ≥ c/θ（c>0 は絶対定数）を導出し、リーマン予想およびペア相関予想の下でそれを改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ T^θ（θ>1）の滑らか化子 M に対して、∫|1−ζ(1/2+it)M(1/2+it)|²dt/T が 1/θ より著しく小さくなることは可能か？
• RQ2 θ<1/2 の場合に、古典的滑らか化子 Lθ は 𝒫(Mθ) を最小化するか？
• RQ3 滑らか化されたモーメントと ζ(s) の零点分布（特に短区間内）との関係は何か？
• RQ4 ペア相関予想は、大規模な θ に対して 𝒫(Mθ) の下界にどのように影響を与えるか？
• RQ5 L² 理論からの自明な下界は、ゼータ関数の零点との関係を活用することで改善可能か？

主な発見

• 非条件的条件下で、任意の θ>0 および係数が a(n)≪n^ε かつ a(1)=1 を満たす長さ T^θ のすべてのディリクレ多項式 Mθ に対して、絶対定数 c>0 が存在し、𝒫(Mθ) ≥ c/θ が成り立つ。
• θ<1/2 の場合、定数 c を 1 にとることができるため、𝒫(Mθ) ≥ 1/θ + o(1) が成り立ち、Balasubramanian, Conrey, および Heath-Brown の漸近公式と一致する。
• リーマン予想およびペア相関予想の下では、下界が 𝒫(Mθ) ≥ (1+o(1))/(0.5+θ) に改善され、より長い滑らか化子が零点分布の制御に有効であることが示される。
• θ<1/2 の場合、長さ T^θ のすべてのディリクレ多項式の中で、滑らか化子 Lθ が 𝒫(Mθ) を最小化する。
• 滑らか化されたモーメント積分における非対角項は、最適な滑らか化子でさえも除去できない非自明な下界を寄与する。
• 解析により、滑らか化されたモーメントと、長さ 2π/(1+θ)log T の区間におけるゼータ関数の零点分布との深い関係が明らかになる。この区間は θ が増加するにつれてより細かくなる。