[論文レビュー] Limiting distributions and large deviations for random walks in random environments

Jonathon Peterson|ArXiv.org|Oct 1, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、独立同分布の確率的環境における1次元のランダムウォークの極限定理および大偏差原理を確立し、クエンチドおよびアンネイルド測度を分析する。クエンチド関数中心極限定理を証明し、ゼロ速度領域における安定極限挙動を特定し、1次元においてアンネイルドレート関数とフェンヒェル＝レギュラルト変換が等しいことを確立する。

ABSTRACT

This thesis concerns the study of random walks in random environments (RWRE). Since there are two levels of randomness for random walks in random environments, there are two different distributions for the random walk that can be studied. The quenched distribution is the law of the random walk conditioned on a given environment. The annealed distribution is the quenched law averaged over all environments. The main results of the thesis fall into two categories: quenched limiting distributions for one-dimensional, transient RWRE and annealed large deviations for multidimensional RWRE. The analysis of the quenched distributions for transient, one-dimensional RWRE falls into two separate cases. First, when an annealed central limit theorem holds, we prove that a quenched central limit theorem also holds but with a random (depending on the environment) centering. In contrast, when the annealed limit distribution is not Gaussian, we prove that there is no quenched limiting distribution for the RWRE. Moreover, we show that for almost every environment, there exist two random (depending on the environment) sequences of times, along which random walk has different quenched limiting distributions. While an annealed large deviation principle for multidimensional RWRE was known previously, very little qualitative information was available about the annealed large deviation rate function. We prove that if the law on environments is non-nestling, then the annealed large deviation rate function is analytic in a neighborhood of its unique zero (which is the limiting velocity of the RWRE).

研究の動機と目的

• 非一様な1次元の確率的環境における非一様ランダムウォークのクエンチド極限定理を特徴づける。
• 到達時間およびウォーク自体のクエンチド関数中心極限定理を確立する。
• ゼロ速度領域を分析し、安定極限挙動および非局所的逐次部分列効果を特定する。
• アンネイルド測度における大偏差原理を導出し、1次元においてアンネイルドレート関数とフェンヒェル＝レギュラルト変換が等しいことを証明する。
• 異なる領域における到達時間の分散および尾確率の漸近的挙動を調査する。

提案手法

• クエンチドおよびアンネイルド確率測度を用いて、確率的環境下での経路挙動を分析する。
• ランダム時間変換技術を適用し、到達時間の極限とウォーク経路の極限を関連付ける。
• 到達時間分布および環境依存期待値に関する技術的推定を用いる。
• 大偏差理論を適用し、アンネイルドレート関数の上界および下界を導出する。
• カップリング論法および経路分解を用いて、初回通過時間を含む確率を評価する。
• フェンヒェル＝レギュラルト変換の正則性および極限論を用いて、レート関数の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様な1次元の確率的環境におけるランダムウォークのクエンチド極限定理は何か？
• RQ2 ゼロ速度領域において、クエンチド測度とアンネイルド測度の極限定理はどのように異なるか？
• RQ3 ゼロ速度領域およびボールスティック領域における到達時間のクエンチド分散の漸近的挙動は何か？
• RQ4 アンネイルドレート関数が累積生成関数のフェンヒェル＝レギュラルト変換に等しくなる条件は何か？
• RQ5 クエンチド極限における非局所的挙動の性質は何か？また、それは部分列に沿ってどのように現れるか？

主な発見

• 環境のモーメント条件 $ s > 2 $ を満たす非一様な1次元の確率的環境におけるランダムウォークに対して、クエンチド関数中心極限定理が成り立つ。
• ゼロ速度領域では、期待到達時間が安定的挙動を示し、環境の非局所的部分列が重尾尾漸近挙動を引き起こす。
• 到達時間 $ T_\nu $ のクエンチド分散は、$ s < 2 $ のとき $ \mathbb{E}_\omega T_\nu \sim \nu^s $ を満たし、異常拡散を示唆する。
• ボールスティック領域では、部分列に沿った $ T_\nu $ のクエンチド極限は指数的尾挙動を示し、そのレート関数はフェンヒェル＝レギュラルト変換と一致する。
• $ d = 1 $ のとき、アンネイルドレート関数 $ \bar{J}(v) $ はフェンヒェル＝レギュラルト変換 $ H(v) $ に等しくなる。これは大偏差理論における重要な恒等式を確立する。
• $ \bar{J}(0) = H(0) $ の証明は、初回通過時間および環境依存生存確率を含む二重極限論法に依拠し、レート関数のゼロにおける連続性を確認する。