[論文レビュー] Limiting Spectral Distributions of Sums of Products of Non-Hermitian Random Matrices

Holger Kösters, А. Н. Тихомиров|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、独立同一分布の非エルミートランダム行列とその逆行列の積の和の極限スペクトル分布を確立し、自由確率論の畳み込みを介して普遍性と安定性を示している。m個の独立同一分布のこのような積の和の固有値分布は、適切なスケーリングを施すと、単一の積と同一の極限分布に収束することを証明しており、ギニブル行列に関する先行研究を拡張し、自由乗法的畳み込みとS変換を用いて安定な極限法則を確立している。

ABSTRACT

For fixed $l,m \ge 1$, let $\mathbf{X}_n^{(0)},\mathbf{X}_n^{(1)},\dots,\mathbf{X}_n^{(l)}$ be independent random $n imes n$ matrices with independent entries, let $\mathbf{F}_n^{(0)} := \mathbf{X}_n^{(0)} (\mathbf{X}_n^{(1)})^{-1} \cdots (\mathbf{X}_n^{(l)})^{-1}$, and let $\mathbf{F}_n^{(1)},\dots,\mathbf{F}_n^{(m)}$ be independent random matrices of the same form as $\mathbf{F}_n^{(0)}$. We investigate the limiting spectral distributions of the matrices $\mathbf{F}_n^{(0)}$ and $\mathbf{F}_n^{(1)} + \dots + \mathbf{F}_n^{(m)}$ as $n o \infty$. Our main result shows that the sum $\mathbf{F}_n^{(1)} + \dots + \mathbf{F}_n^{(m)}$ has the same limiting eigenvalue distribution as $\mathbf{F}_n^{(0)}$ after appropriate rescaling. This extends recent findings by Tikhomirov and Timushev (2014). To obtain our results, we apply the general framework recently introduced in Götze, Kösters and Tikhomirov (2014) to sums of products of independent random matrices and their inverses. We establish the universality of the limiting singular value and eigenvalue distributions, and we provide a closer description of the limiting distributions in terms of free probability theory.

研究の動機と目的

• 行列サイズ n → ∞ のとき、独立同一分布の非エルミートランダム行列とその逆行列の積の和の極限スペクトル分布を特定すること。
• 2次のモーメント条件を満たす異なるエントリ分布に対して、極限固有値分布が普遍的であることを確立すること。
• このような行列和の極限分布が、自由乗法的畳み込み作用素に関して安定であることを示すこと。
• 特にS変換とR変換を用いた自由確率論的手法により、極限分布を明示的に特徴づけること。
• ギニブル行列に関する先行結果を、独立同一分布の行列の和および逆行列を含むより一般的な積へ拡張すること。

提案手法

• Götze, Kösters, Tikhomirov (2014) が提示した一般枠組みを、独立ランダム行列とその逆行列の積の和の解析に適用する。
• 極限固有値分布を記述するために、自由乗法的畳み込み ⊠ および加法的畳み込み ⊞ の概念を用いる。
• 特に行列 Fₙ⁽⁰⁾ = Xₙ⁽⁰⁾(Xₙ⁽¹⁾)⁻¹⋯(Xₙ⁽ˡ⁾)⁻¹ の積の極限分布を特徴づけるためにS変換を用いる。
• スペクトル測度を制御し、確率的に収束を導出するために、Helffer–Sjöstrand関数計算を適用する。
• 特異値に関する不等式（例：Hornの不等式）を用いて、必要なモーメントおよび安定性条件（C0–C2）を検証する。
• 非エルミートランダム行列の小特異値に関する境界（例：[22, 23] より）を活用し、n → ∞ のとき逆行列の可逆性と安定性が高確率で成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立同一分布の非エルミートランダム行列の積のm個の独立コピーの和の極限スペクトル分布は、適切なスケーリングを施すと、単一の積のそれと一致するか？
• RQ2 2次のモーメントが有限であるという条件下での、異なるエントリ分布に対して、極限固有値分布が普遍的であるか？
• RQ3 自由確率論、特にS変換と自由乗法的畳み込みを用いて、極限分布を明示的に記述できるか？
• RQ4 このような行列積の極限分布は、古典的安定法則に類似した自由畳み込みに関して安定性を示すか？
• RQ5 大規模 n における Fₙ⁽⁰⁾ の極限スペクトル分布とスケーリングされた和 Fₙ⁽¹⁾ + ⋯ + Fₙ⁽ᵐ⁾ の間の正確な関係は何か？

主な発見

• 適切なスケーリングを施した和 m⁻⁽ˡ⁺¹⁾ᐟ²(Fₙ⁽¹⁾ + ⋯ + Fₙ⁽ᵐ⁾) の極限スペクトル分布は、Fₙ⁽⁰⁾ のそれと一致し、自由畳み込みに関してある種の安定性を確立している。
• Fₙ⁽⁰⁾ の極限固有値分布は、H(Q⁻¹(γ₁⁻¹ ⊠ γ₁^⊞ˡ¹ ⊠ ⋯ ⊠ γ₁^⊞ˡᵏ)) で与えられ、ここで H はHerglotz変換、Q⁻¹ はR変換の逆関数を表す。
• 極限分布は普遍的である：それは行列の個数と積における指数にのみ依存し、エントリの具体的な分布には依存しない（条件 (1.2)–(1.4) を満たす限り）。
• Fₙ⁽⁰⁾ の極限分布のS変換が σₛ(2/(l+1)) に等しいことが示され、m個のコピーとの自由乗法的畳み込みに関しての安定性が裏付けられた。
• n → ∞ のとき、経験的固有値分布 μₙ が非確率的極限 μ に弱収束する（確率的に）。
• Tikhomirov と Timushev (2014) の先行結果を、逆行列を含むより一般的な積および独立コピーの和へ拡張し、特異値の境界と自由確率論を用いた厳密な根拠を提示した。