[論文レビュー] Limits of balanced metrics on vector bundles and polarised manifolds

Mario García-Fernández, Julius Ross|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、極小多様体 X、アキシオラインバンドル L、および正則ベクトルバンドル E からなる三つ組 (X, L, E) にたいして α-バランスのとれた計量の族を導入する。E⊗L^k のベルグマン核の漸近展開を分析することにより、α-バランスのとれた計量の極限が、一般の α に対してはヘルミート・アインシュタイン計量および定スカラー曲率ケーラー計量（cscK）をもたらし、特殊な α に対しては曲率項を含む結合系の解をもたらすことを示し、ケーラー幾何学と代数幾何学における安定性条件を統一する。

ABSTRACT

We consider a notion of balanced metrics for triples (X,L,E) which depend on a parameter α, where X is smooth complex manifold with an ample line bundle L and E is a holomorphic vector bundle over X. For generic choice of α, we prove that the limit of a convergent sequence of balanced metrics leads to a Hermitian-Einstein metric on E and a constant scalar curvature Kähler metric in c_1(L). For special values of α, limits of balanced metrics are solutions of a system of coupled equations relating a Hermitian-Einstein metric on E and a Kähler metric in c_1(L). For this, we compute the top two terms of the density of states expansion of the Bergman kernel of E \otimes L^k.

研究の動機と目的

• 三つ組 (X, L, E) にたいするバランスのとれた計量の概念を、基本多様体およびベクトルバンドルの幾何を統合する形で拡張すること。
• 三つ組 (X, L, E) の漸近的安定性と、E および X 上の標準的計量の存在との間の対応を確立すること。
• パラメータ α を導入することで、ヒッチン＝コバヤシ対応とヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想を補間する形で統一すること。
• E⊗L^k のベルグマン核密度展開の上位2項を計算し、極限計量方程式の導出を可能にする。
• k→∞ の極限における α-バランスのとれた計量の挙動を、一般の α と特殊な α に分けて特徴づけること。

提案手法

• L^k および E⊗L^k の空間 H⁰(L^k) および H⁰(E⊗L^k) に、L および E の曲率形式から構成された体積形式 dV₁ および dV₂ を用いて α に依存する L² 内積を定義する。
• 正規直交基底が誘導するフルビーニ・シュトラウス計量が (h^k, H⊗h^k) に引き戻されるような計量を α-バランスのとれた計量と定義する。
• モーメント写像理論を用い、シンプレクティック減少と線形化パrameter α ∈ ℝⁿ⁺² から体積形式 dV₁ および dV₂ を導出する。
• 局所正則座標と曲率展開を用いて、E⊗L^k の切断のベルグマン核展開の上位2項を計算する。
• k→∞ の極限における α-バランスのとれた条件の漸近的挙動を分析することで、極限計量方程式を導出する。
• トレース演算、曲率の縮約、計量ポテンシャルの2階微分を含む微分幾何的技法を用い、曲率方程式を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の α に対して、k→∞ の極限における (X, L, E) 上の α-バランスのとれた計量の挙動はいかなるものか？
• RQ2 極限計量は、ヘルミート・アインシュタイン方程式および定スカラー曲率ケーラー方程式とどのように関係するか？
• RQ3 α が ℝⁿ⁺² の特別な部分集合上にあるとき、極限計量にはどのような現象が生じるか？
• RQ4 E⊗L^k のベルグマン核展開の上位2項を明示的に計算し、曲率方程式の導出に用いることができるか？
• RQ5 三つ組 (X, L, E) に対して、α-バランスのとれた計量が漸近的に存在する場合に対応する統一された安定性条件は存在するか？

主な発見

• 一般の α に対して、収束する α-バランスのとれた計量列の極限は、E 上にヘルミート・アインシュタイン計量と、c₁(L) 内に定スカラー曲率ケーラー計量をもたらす。
• 特殊な α に対しては、結合系が満たされる： i(ΛF_H − (1/r)trF_H·Id) + (1/2 S_ω − (β₁/β₀)iΛtrF_H)·Id = λ′·Id および Λ²(F_H² + F_H ∧ trR_ω) を含む2階曲率方程式。
• E⊗L^k のベルグマン核展開の上位2項は明示的に計算され、2階項は Δ(S) および |trR|² を含む。ここで S はスカラー曲率、R は曲率2形式である。
• E からの曲率寄与は展開の2階項に現れ、α をこの項を強調するように調整することで結合方程式が得られる。
• 極限方程式は、計量ポテンシャルおよび曲率成分のトレースと2階微分作用素を用いた α-バランスのとれた条件の漸近的解析により導出される。
• 大規模な k における α-バランスのとれた計量の存在は、対応する標準的計量方程式の解の存在を示しており、ヘルミート・アインシュタインおよび cscK の両ケースを一般化する。