[論文レビュー] Limits of bimorphic lenses

Jules Hedges|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2018

Artificial Intelligence in Games参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、基礎となる圏が完全で、コ-completeであり、カルテシアン閉であるとき、双型レンズの圏が完全であることを確立している。これにより、対称的多相レンズの基盤として、双型レンズのスパンの構成が可能になる。主な貢献は、基礎圏におけるプルバックとプッシュアウトを用いて、双型レンズの圏におけるプルバックの形式的構成であり、これは構成的ゲーム理論におけるオープンゲームのコンパクト閉圏の構築を支援する。

ABSTRACT

Bimorphic lenses are a simplification of polymorphic lenses that (like polymorphic lenses) have a type defined by 4 parameters, but which are defined in a monomorphic type system (i.e. an ordinary category with finite products). We show that the category of bimorphic lenses is complete when the base category is complete, cocomplete and cartesian closed, and so symmetric bimorphic lenses can be defined as spans of ordinary bimorphic lenses. This is in contrast to monomorphic lenses, which do not have pullbacks, and for which the category of spans can be defined in an ad-hoc way only when the lenses satisfy a certain axiom (the put-get law). This is a step towards a theory of symmetric polymorphic lenses. Bimorphic lenses additionally play an essential role in compositional game theory, and spans of bimorphic lenses are a step towards a compact closed category of open games.

研究の動機と目的

• 基礎圏に適切な条件が満たされている場合に、双型レンズの圏が完全であることを確立すること。
• 双型レンズのスパンの構成を通じて、対称的多相レンズの圏的基盤を提供すること。
• 双型レンズを用いて、構成的ゲーム理論におけるオープンゲームのコンパクト閉圏の構築を支援すること。
• 単型型システムにおける中間地点としての双型レンズを導入することで、単型レンズと多相レンズの橋渡しをすること。
• 双型レンズがゲーム理論的意味論および多相レンズ理論の今後の研究における役割を形式化すること。

提案手法

• 有限積を持つ圏 $ \mathcal{C} $ 内で、視認関数 $ v_\lambda: S \to A $ と更新関数 $ u_\lambda: S \times B \to T $ のペアとして双型レンズを定義する。
• 対象のペアを型とし、双型レンズを射とする圏 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ を構成する。
• $ \mathcal{C} $ が完全で、コ-completeであり、カルテシアン閉であるとき、 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ が完全であることを証明する。
• 視認成分には $ \mathcal{C} $ 内のプルバックを、更新成分には $ \mathcal{C} $ 内のプッシュアウトを用いて、 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 内のプルバックを構成する。
• スパンを、プルバックに依存する構成として定義し、対称的合成を可能にする。
• プルバックとプッシュアウトの普遍性を用いて、導かれるレンズ構造の一意性と可換性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎圏に妥当な条件が満たされている場合、双型レンズの圏が完全であることが示せるか？
• RQ2 双型レンズのスパンを、対称的合成とコンパクト閉構造を支える方法でどのように構成できるか？
• RQ3 双型レンズは、対称的多相レンズ理論を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 双型レンズは、構成的ゲーム理論におけるオープンゲームのコンパクト閉圏の構築をどのように支援するか？
• RQ5 双型レンズの圏におけるスパンを定義するために、必要な十分な圏的構成（例えば、プルバック、プッシュアウト）は何か？

主な発見

• $ \mathcal{C} $ が完全で、コ-completeであり、カルテシアン閉であるとき、圏 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ は完全である。
• $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 内のプルバックは、 $ \mathcal{C} $ 内の視認関数のプルバックと、更新関数のプッシュアウトを用いて構成される。
• コスパン $ \lambda: \binom{S}{T} \to \binom{A}{B} \leftarrow \binom{S'}{T'}: \lambda' $ のプルバックは、 $ \binom{S \times_A S'}{T +_{(S \times_A S') \times B} T'} $ で与えられる。ここで $ S \times_A S' $ は $ v_\lambda $ と $ v_{\lambda'} $ のプルバックであり、第二成分はプッシュアウトである。
• プルバックの普遍性により、誘導されるレンズの一意性が保証され、視認および更新関数は普遍的モルフィズムと余極限の保存性を用いて構成される。
• $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $ 内のスパンの構成は、適切に定義されており、単型レンズの圏で用いられるアドホックな定義を避ける。
• この結果は、オープンゲームのコンパクト閉圏を双型レンズのスパンを用いて構築するという長期的目標を支援する。