[論文レビュー] Limits of Coalgebras, Bialgebras and Hopf Algebras

A. L. Agore|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、余自由余代数関手と部分余代数の和を用いて、任意の族の余代数、双代数、ホップ代数の積および等化子を明示的に構成する。余代数、双代数、ホップ代数の圏がすべての小さな極限を備えていること、つまり完全であること（complete）を示し、これらの圏における任意の積および等化子の存在と構成に関する文献における空白を解消する。

ABSTRACT

We give the explicit construction of the product of an arbitrary family of coalgebras, bialgebras and Hopf algebras: it turns out that the product of an arbitrary family of coalgebras (resp. bialgebras, Hopf algebras) is the sum of a family of coalgebras (resp. bialgebras, Hopf algebras). The equalizers of two morphisms of coalgebras (resp. bialgebras, Hopf algebras) are also described explicitly. As a consequence the categories of coalgebras, bialgebras and Hopf algebras are shown to be complete and a explicit description for limits in the above categories is given.

研究の動機と目的

• 余代数、双代数、ホップ代数の圏における任意の積および等化子の明示的構成により、文献における空白を埋めること。
• すべての小さな極限の存在を示すことで、これらの圏が完全であること（complete）を証明すること。
• 余自由余代数関手と、適合条件を満たす部分余代数の和を用いた明示的構成を提供すること。
• それぞれの圏における積の普遍性を活用することで、余代数からの構成を双代数およびホップ代数へと拡張すること。
• ホップ代数から双代数への忘却関手が積を保存すること、および極限における反対称写像（antipode）構造が保存されることの役割を明確にすること。

提案手法

• 任意の余代数族の積は、底辺のベクトル空間の積上の余自由余代数 $ K(igprod_i C_i) $ の部分余代数 $ D $ として構成される。
• $ D $ は、すべての $ i \in I $ に対して $ \pi_i \circ p \circ j_E $ が余代数準同型となるようなすべての部分余代数 $ E \subseteq K(\bigprod_i C_i) $ の和として定義される。
• 2つの余代数準同型 $ f, g: C \to D $ の等化子は、$ C $ の中で $ \{ c \in C \mid f(c) = g(c) \} $ に含まれるすべての部分余代数の和として与えられる。
• 双代数およびホップ代数の場合、積は双代数圏における積の部分双代数（それぞれ部分ホップ代数）として構成され、余代数の普遍性により反対称写像が保存される。
• 忘却関手 $ k\text{-CoAlg} \to k\text{-Mod} $ が右随伴（余自由余代数関手）を持つという事実に依拠し、明示的な極限構成が可能になる。
• ベクトル空間における積の普遍性と、余自由余代数を通じた準同型の持ち上げを用いて、余積および余単位構造との適合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 $ k $ 上の余代数の圏は、任意の積および等化子を備えているか？
• RQ2 任意の族の双代数またはホップ代数の積を明示的に構成することは可能か？
• RQ3 ホップ代数の族の極限における反対称写像（antipode）は、どのように保存され、極限が再びホップ代数となるように保証されるか？
• RQ4 余自由余代数関手は、余代数および関連構造の圏における極限の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 ホップ代数の圏は完全であるか？ もしそうならば、その極限はどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の余代数族の積は、底辺のベクトル空間の積上の余自由余代数の部分余代数 $ D $ として明示的に構成される。
• 2つの余代数準同型 $ f, g: C \to D $ の等化子は、$ C $ の中で集合 $ \{ c \in C \mid f(c) = g(c) \} $ に含まれるすべての部分余代数の和として与えられる。
• 余代数の圏は完全である。なぜなら、すべての小さな極限、特に任意の積および等化子を備えているからである。
• 任意の双代数族の積は、双代数圏における積の部分双代数として構成され、余積および積構造が保存される。
• 任意のホップ代数族の積は、双代数圏における積の部分ホップ代数として構成され、反対称写像は普遍性により保存される。
• ホップ代数から双代数への忘却関手は積を保存する。また、極限における反対称写像が適切に定義され、普遍写像と適合することが示された。