[論文レビュー] Limits of multiplicative inhomogeneous random graphs and Lévy trees: The continuum graphs

Nicolas Broutin, Thomas Duquesne+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、離散的グラフをガルトン＝ウォーソンの森への埋め込みを通じて新たに定式化することにより、エレシュ＝レニのグラフや構成モデルを含む、臨界的非一様ランダムグラフの普遍的スケーリング極限として連続乗法的グラフを導入する。深さ優先探索プロセスをレヴィ過程に結びつけることで、距離を定義する局所時間関数の存在を確立し、連続極限におけるフラクタル次元およびコンパクト性の明確な導出を可能にする。

ABSTRACT

Motivated by limits of critical inhomogeneous random graphs, we construct a family of sequences of measured metric spaces that we call continuous multiplicative graphs, that are expected to be the universal limit of graphs related to the multiplicative coalescent (the Erdős--Rényi random graph, more generally the so-called rank-one inhomogeneous random graphs of various types, and the configuration model). At the discrete level, the construction relies on a new point of view on (discrete) inhomogeneous random graphs that involves an embedding into a Galton--Watson forest. The new representation allows us to demonstrate that a processus that was already present in the pionnering work of Aldous [Ann. Probab., vol.~25, pp.~812--854, 1997] and Aldous and Limic [Electron. J. Probab., vol.~3, pp.~1--59, 1998] about the multiplicative coalescent actually also (essentially) encodes the limiting metric: The discrete embedding of random graphs into a Galton--Watson forest is paralleled by an embedding of the encoding process into a Lévy process which is crucial in proving the very existence of the local time functionals on which the metric is based; it also yields a transparent approach to compactness and fractal dimensions of the continuous objects. In a companion paper, we show that the continuous Lévy graphs are indeed the scaling limit of inhomogeneous random graphs.

研究の動機と目的

• 臨界的非一様ランダムグラフの普遍的スケーリング極限として機能する測度付き距離空間である連続乗法的グラフの族を構成すること。
• 極限において距離構造を符号化する課題を克服するため、グラフをガルトン＝ウォーソンの森へ埋め込む新しい離散的埋め込みを導入すること。
• 探索プロセスをレヴィ過程に埋め込むことで、連続極限における局所時間関数の存在を確立すること。
• 極限距離空間のフラクタル次元およびコンパクト性を分析するための明確な枠組みを提供すること。
• 連続乗法的グラフがランク1非一様ランダムグラフ（エレシュ＝レニのモデルや構成モデルを含む）のスケーリング極限として出現することの基礎を築くこと。

提案手法

• 局所時間関数を用いて成分構造と距離を符号化する深さ優先探索プロセスを用いて、離散的非一様ランダムグラフを表現する。
• 独立性を活用し極限解析を簡素化するため、グラフをガルトン＝ウォーソンの森への新しい埋め込みを導入する。
• 離散的探索プロセスを連続極限においてレヴィ過程に写像し、距離を定義する上で不可欠な局所時間関数の存在を保証する。
• ピンチング構成を用いて距離を定義する：有限個のピンチング点の近傍で距離ε以内の点を同一視し、それらの点を除く領域では局所等長性を保つ。
• 商写像による有限測度の押し出しを用いて、元の空間とピンチング空間のハウスドルフ次元およびパッキング次元を比較する。
• ハウスドルフおよびパッキング測度に関するロジャース＝テイラーおよびテイラー＝トリコの結果を活用し、極限距離空間の次元を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的非一様ランダムグラフのスケーリング極限として、普遍的な連続乗法的グラフの族を構成できるか？
• RQ2 このようなグラフの距離構造は、極限プロセスを経ても存続するような方法で符号化できるか？
• RQ3 連続極限における距離を定義する局所時間関数の存在を保証するために、レヴィ過程が果たす役割は何か？
• RQ4 極限距離空間のフラクタル次元は、元の離散的グラフのそれとどのように関係するか？
• RQ5 深さ優先探索プロセスは、極限において乗法的結合過程とどのような意味で同値となるか？

主な発見

• 連続乗法的グラフは、エレシュ＝レニのモデルや構成モデルを含む、臨界的ランク1非一様ランダムグラフのスケーリング極限として構成される。
• 離散モデルで用いられる深さ優先探索プロセスは、極限においてレヴィ過程に対応し、距離を定義する局所時間関数の存在を保証する。
• 極限距離空間は、有限個のピンチング点を除き、元の空間と局所等長である。これにより、局所幾何が保存される。
• 適切な測度条件の下で、極限空間のハウスドルフ次元およびパッキング次元は、$ a \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{H}}(E^\prime) \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{H}}(E_0) $ および $ b \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{p}}(E^\prime) \leq \mathrm{dim}_{\mathrm{p}}(E_0) $ を満たす。
• 本構成は、極限対象のコンパクト性の証明およびフラクタル性質の特徴付けのための明確な枠組みを提供する。
• ピンチング構成により、商空間 $ E/\!\equiv_{\boldsymbol{\Pi},\varepsilon} $ は、ピンチング点を除く領域で局所等長性を保ちつつ、距離構造を継承する。