[論文レビュー] Lindstedt series, ultraviolet divergences and Moser's theorem

Federico Bonetto, Giovanni Gallavotti+2 more|ArXiv.org|Nov 28, 1995

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非解析的準可積分ハミルトニアン系におけるモーザーの不変トーラスの摂動パラメータεに関する解析性を、発散するリンズテット級数に対する和公式を導入することによって確立する。解析的ケースとは異なる新たなキャンセレーションを同定し、この手法を収束性が向上した特異な量子場理論モデルとして解釈する。

ABSTRACT

Moser's invariant tori for a class of nonanalytic quasi integrable even hamiltonian systems are shown to be analytic in the perturbation parameter. We do so by exhibiting a summation rule for the divergent series (``Lindstedt series") that formally define them. We find additional cancellations taking place in the formal series, besides the ones already known and necessary in the analytic case (i.e. to prove convergence of Lindtsedt algorithm for Kolmogorov's invariant tori). The method is interpreted in terms of a non renormalizable quantum field theory, considerably more singular than the one we pointed out in the analytic case.

研究の動機と目的

• 非解析的準可積分ハミルトニアン系における不変トーラスのεに関する解析性を証明すること。
• 既知の解析的ケースを超えるキャンセレーションを同定することで、リンズテット級数の収束性を拡張すること。
• 摂動展開を収束性が向上した非再正則化量子場理論モデルとして解釈すること。
• 関数類C(p)とディオファントス条件を用いた解の正則性の閾値を確立すること。

提案手法

• 非解析的設定における不変トーラスを定義する発散するリンズテット級数に対する和公式を導入する。
• 偶関数fに対して、h(θ) = εJ⁻¹(ω₀·∂θ)⁻¹∂ₐf(θ + h(θ))を解くために関数方程式技法を適用する。
• 共振構造に起因するキャンセレーションを組み込んだ、新しいグラフ理論的アプローチを用いて、小さな分母の積を評価する。
• フェニマン的グラフの再帰的分解を実装し、共振対と非共振対を区別することで発散を制御する。
• ディオファントス条件を用いて、分母の積をバウンドする修正された自己エネルギー群アプローチを適用する。
• 帰納法を用いてグラフ内のパス数のバウンドを導出し、k-分岐グラフに対してN(k) ≤ 2^{k-1}を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動fが有限のpに対してC(p)に属するが解析的でない場合、モーザーの不変トーラスはεに関して依然として解析的であるか？
• RQ2 解析的ケースで知られているキャンセレーションとは異なる、リンズテット級数にさらなるキャンセレーションが生じるか？
• RQ3 非解析的ハミルトニアン系において、発散する摂動級数を意味的に和する方法は何か？
• RQ4 ディオファントス条件を用いた場合、解の解析性の臨界正則性閾値pは何か？
• RQ5 摂動法を量子場理論モデルとして解釈できるか？ もしそうなら、その特異性は何か？

主な発見

• f ∈ Ĉ(p)(T^`) に対して、関数方程式 h(θ) = ε∂ₐf(θ + h(θ)) の解h(θ) は、p > 2 のときC(<p−1)-正則かつεに関して解析的である。
• 小さな分母を含む完全方程式に対しては、f ∈ Ĉ(p)(T^`) かつ p > 3 + ½γ のとき、εに関する解析性が成立する。ここでγはディオファントス指数である。
• 解hはθに関して奇関数であり、fが偶関数であってもεで割り切れる。
• 本手法は、解析的ケースで必要な標準的なキャンセレーションを超えるキャンセレーションを同定する。
• グラフ理論的解析により、k-分岐グラフ内のパス数は2^{k−1}でバウンドされ、これは最適である。
• 共振グラフにおける小さな分母の積は、A(B)^{k−1} ∏_v |ω_v|^{−γ∑|ω_v|} でバウンドされ、形式的級数が発散するにもかかわらず収束を保証する。