[論文レビュー] Field theory and KAM tori

Giovanni Gallavotti, Guido Gentile+1 more|ArXiv.org|Mar 20, 1993

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、準可積分ハミルトニアン系におけるKAMトーラスと、l次元トーラス上のユークリッド量子場理論における1点関数（シュヴィンガー関数）との間の対応関係を確立する。 renormalization group（RG）アプローチを導入し、摂動級数を解析的l×l行列σεによる再結合によって扱う。KAMトーラスの破綻がε=εcにおいて行列が臨界的表面を通過することと関連しており、不変トーラスのパrametric依存性における普遍性を示唆する。

ABSTRACT

The parametric equations of KAM tori for a quasi integrable system, are shown to be one point Schwinger functions of a suitable euclidean quantum field theory on the torus. KAM theorem is equivalent to a ultraviolet stability theorem. A renormalization group treatment of the field theory leads to a resummation of the formal pertubation series and to an expansion in terms of new parameters (identified as a family of renormalization constants). The new parameters are analytic in the coupling (at small coupling): the breakdown of the tori at large coupling is speculated to be related to the crossing of a "critical" surface at a value where the renormalization constants are still finite. A mechanism for the possible universality of the singularities of parametric equations for the invariant tori, in their parameter dependence as well as in the coupling dependence, is proposed.}

研究の動機と目的

• l自由度をもつ準可積分系におけるKAMトーラスの場理論的定式化を確立すること。
• renormalization group技法を用いて、KAMトーラスの形式的摂動級数の再結合を提供すること。
• renormalization行列σεの解析的構造と、ε=εcにおける不変トーラスの破綻におけるその役割を調査すること。
• KAMトーラスのパrametric依存性および臨界的挙動における普遍性の可能性を探索すること。

提案手法

• KAMトーラスのパラメトリック方程式を、l次元トーラス上のユークリッド量子場理論の1点シュヴィンガー関数として表現する。
• 4つの複素ベクトル場（H, h）をもつ場理論を定義し、ディオファントス的回転ベクトルω₀に基づくガウス型自由測度と伝播関数を導入する。
• 摂動f(α,A)と補正項a(ε)を含む作用V(Φ)を構成し、ハミルトニアン力学を場理論に埋め込む。
• scale依存の形因数とl×lのrenormalization定数行列σn,εを導入することで、摂動級数の再結合を実行するrenormalization group手順を適用する。
• n→−∞の極限を解析し、σn,ε(2ⁿx)がxに依存しない極限σεに収束することを示し、εに関する解析性を証明する。
• 作用依存の相互作用を含めるために、スケール依存のσs,n,εを用いた共鳴形因数を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KAMトーラスのパラメトリック方程式は、場理論フレームワークにおいて、シュヴィンガー関数として体系的に導出可能か？
• RQ2 場理論におけるrenormalization group処理は、KAMトーラスの形式的摂動級数の再結合をどのようにもたらすか？
• RQ3 l×l行列σεは、ε=εcにおけるKAMトーラスの破綻を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 KAMトーラスの臨界的挙動は普遍的か？ もしそうならば、その背後にあるスケーリング則は何か？
• RQ5 摂動級数内の共鳴構造は、トーラスパラメトリゼーションの解析的構造にどのように影響するか？

主な発見

• KAMトーラスのパラメトリック方程式は、l次元トーラス上のユークリッド場理論における1点シュヴィンガー関数と等価である。
• KAM定理は、場理論的文脈において紫外安定性定理として再定式化される。
• 摂動級数は、renormalization groupアプローチにより再結合され、l×lのrenormalization定数行列σεを用いた展開として得られる。
• 行列σεは結合定数εの解析的関数であり、ε=εcにおけるその破綻は、KAMトーラスの破壊を示唆する。
• εc近傍における臨界的挙動は普遍的であると予想され、標準写像と類似したスケーリング則を示す可能性がある。
• 共鳴の存在を仮定しない方法を採用し、作用依存の相互作用のための形因数は、スケール依存のσs,n,εを用いて導出された。