[論文レビュー] Linear Algebra in the vector space of intervals

Nicolas Goze|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2010

Numerical Methods and Algorithms参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、区間のベクトル空間 $\bar{\bb{R}}$ 上の線形代数フレームワークを導入し、区間演算の非因子的性質により、$n$ 個より多くの固有値を持つ行列の対角化を可能にする。非因子的性質により、固有値の数が通常の線形代数を超える。また、級数展開を用いた新しい指数写像を定義し、中心固有値を用いた対角化基準を証明することで、不確実性モデリングへの古典的線形代数の拡張を実現する。

ABSTRACT

In a previous paper, we have given an algebraic model to the set of intervals. Here, we apply this model in a linear frame. We define a notion of diagonalization of square matrices whose coefficients are intervals. But in this case, with respect to the real case, a matrix of order $n$ could have more than $n$ eigenvalues (the set of intervals is not factorial). We consider a notion of central eigenvalues permits to describe criterium of diagonalization. As application, we define a notion of Exponential mapping.

研究の動機と目的

• 実区間の集合に対して、厳密なベクトル空間および代数的構造を確立し、線形代数的演算を可能にする。
• 区間係数の行列に対する対角化を定義し、行列が $n$ 個より多くの固有値を持つことがある（区間算術の非因子的性質による）。
• 区間行列における対角化可能性の基準として「中心固有値」の概念を導入する。
• 級数展開および対角化を用いて、区間行列の指数写像を定義・特徴付ける。
• 区間不確実性を含む線形微分方程式系を解くための基盤を提供する。

提案手法

• 等価関係による $\bb{IR} \times \bb{IR}$ の商として、区間を4次元実ベクトル空間に埋め込むベクトル空間 $\bar{\bb{IR}}$ を構築する。
• $\bar{\bb{IR}}$ を、単調性と分配法則を保つ非自明な乗法則を持つ4次元結合代数 $\bb{A}_4$ に埋め込む。
• 区間値の根 $\bb{X}_i$ を用いて、特性多項式 $C_A(\bb{X}) = a_n \textstyle\bigprod_{i=1}^n (\bb{X} \setminus \bb{X}_i)$ を用いて区間行列の固有値を定義する。
• 対角化可能性の主要基準として「中心固有値」を導入：各固有値の幾何的重複度が代数的重複度に等しい場合に、対角化が成立する。
• べき級数を用いて指数写像 $\text{Exp}(A)$ を定義し、固有値の指数化および相似変換を用いて、対角化可能な区間行列に対して計算する。
• 区間代数における行列方程式を通じて、$\bb{A}_4$ 内の区間の標準表現を用いて固有空間を計算し、対角化可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間環が因子的でないため、$n \times n$ 行列に対して $n$ 個より多くの固有値が得られるが、区間係数行列に対する線形代数はどのように拡張可能か？
• RQ2 区間行列の対角化可能性を保証する条件は何か？固有空間および重複度を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 中心固有値は、区間行列の対角化可能性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 区間算術の文脈において、行列指数はどのように定義され、計算可能か？
• RQ5 提案されたフレームワークは、区間係数をもつ線形微分方程式系の解法に応用可能か？

主な発見

• $n \times n$ の区間行列は、区間環の非因子的構造のため、$n$ 個より多くの固有値を持つ可能性があり、古典的線形代数における固有値重複度の仮定が無効になる。
• 対角化可能性は、各固有値の幾何的重複度（固有空間の次元）が代数的重複度に一致するという条件で特徴づけられ、中心固有値がその主要基準として機能する。
• 行列 $B_3 = \left(\begin{smallmatrix}[1,2] & [1,2] \\ [1,3] & [2,5]\end{smallmatrix}\right)$ に対して、2つの中心固有値が計算された：$\mathcal{X}_1 = \left(\left[\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{7+\sqrt{33}}{2}\right], 0\right)$ および $\mathcal{X}_3 = \left(\left[\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{7-\sqrt{33}}{2}\right], 0\right)$。
• $\mathcal{X}_1$ の固有ベクトルは $\left(\begin{smallmatrix}([1,1],0) \\ \overline{\left[\frac{-3-\sqrt{33}}{2}, \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\right]}, 0\end{smallmatrix}\right)$ の形をとり、$\mathcal{X}_3$ の固有ベクトルは $\left(\begin{smallmatrix}([1,1],0) \\ \left[\frac{3-\sqrt{33}}{2}, \frac{1-\sqrt{5}}{4}\right], 0\end{smallmatrix}\right)$ の形をとる。
• 行列指数 $\text{Exp}(B_3)$ は対角化を用いて計算された：$\text{Exp}(B_3) = P \cdot D \cdot P^{-1}$、ここで $D$ は対角行列で、要素が $\left(\text{exp}\left(\left[\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}, \frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\right]\right), 0\right)$ である。