[論文レビュー] Linear and Reed Solomon Codes Against Adversarial Insertions and Deletions.

Roni Con, Amir Shpilka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2021

DNA and Biological Computing参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、敵対的挿入・削除誤りを効率的に訂正する小さな体上の線形符号を構築し、半シングルトン境界に近いレートを達成する。$﫲$ 上の線形符号およびリード・ソロモン符号の改良された構成を導入し、従来の研究を著しく進展させ、多項式時間でのデコードと、高耐障害性を維持しながら必要な体のサイズを削減する。

ABSTRACT

In this work, we study linear error-correcting codes against adversarial insertion-deletion (insdel) errors. We focus on two different settings: Linear codes over small fields: We construct linear codes over $\mathbb{F}_q$, for $q= ext{poly}(1/\varepsilon)$, that can efficiently decode from a $\delta$ fraction of insdel errors and have rate $(1-4\delta)/8-\varepsilon$. We also show that by allowing codes over $\mathbb{F}_{q^2}$ that are linear over $\mathbb{F}_q$, we can improve the rate to $(1-\delta)/4-\varepsilon$ while not sacrificing efficiency. Using this latter result, we construct fully linear codes over $\mathbb{F}_2$ that can efficiently correct up to $\delta < 1/54$ fraction of deletions and have rate $R = (1 - 54 \delta)/1216$. Cheng, Guruswami, Haeupler, and Li [CGHL21] constructed codes with (extremely small) rates bounded away from zero that can correct up to a $\delta < 1/400$ fraction of insdel errors. They also posed the problem of constructing linear codes that get close to the half-Singleton bound (proved in [CGHL21]) over small fields. Thus, our results significantly improve their construction and get much closer to the bound. Reed-Solomon codes: We prove that over fields of size $n^{O(k)}$ there are $[n,k]$ Reed-Solomon codes that can decode from $n-2k+1$ insdel errors and hence attain the half-Singleton bound. We also give a deterministic construction of such codes over much larger fields (of size $n^{k^{O(k)}}$). Nevertheless, for $k=O(\log n /\log\log n)$ our construction runs in polynomial time. For the special case $k=2$, which received a lot of attention in the literature, we construct an $[n,2]$ Reed-Solomon code over a field of size $O(n^4)$ that can decode from $n-3$ insdel errors. Earlier construction required an exponential field size. Lastly, we prove that any such construction requires a field of size $\Omega(n^3)$.

研究の動機と目的

• 小さな有限体上の線形符号を構築し、定数の割合の敵対的インサート・デリート誤りを効率的に訂正すること。
• インサート・デリート誤り訂正符号における既存の構成と半シングルトン境界の差を埋めること。
• $n-2k+1$ 個のインサート・デリート誤りを訂正できる、決定的かつ効率的なリード・ソロモン符号の構成を提供すること。
• リード・ソロモン符号の必要な体のサイズを指数的から多項式的または準多項式的サイズに削減すること、特に $k$ が小さい場合に有効である。
• このような構成に必要な最小体サイズに関するタイトな下界を確立すること。

提案手法

• 体の拡張技術を用いて $﫲$ 上の線形符号を構築し、符号は $﫲$ 上で線形であるが $﫲^2$ 上で定義される。これにより、効率を損なわずにレートを向上させられる。
• 同期性の性質と多項式補間を活用して、インサート・デリート誤りを効率的に処理するデコードアルゴリズムを設計する。
• $[n,k]$ リード・ソロモン符号が $n^{O(k)}$ の体サイズで $n-2k+1$ 個のインサート・デリート誤りを訂正できることを証明し、半シングルトン境界に到達することを示す。
• 体サイズ $n^{k^{O(k)}}$ 上でのこのような符号の決定的構成を提供し、$k = O(\frac{\text{log} n}{\text{log}\,\text{log} n}})$ のとき多項式時間デコードが可能であることを示す。
• $k=2$ の場合、体サイズ $O(n^4)$ 上の $[n,2]$ リード・ソロモン符号を構築し、$n-3$ 個のインサート・デリート誤りを訂正可能であり、従来の指数的体サイズ要件を改善する。
• このような構成に必要な体サイズの下界を $訨(n^3)$ として確立し、新しい構成が体サイズにおいてほぼ最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな体上の線形符号を構築し、定数の割合の敵対的インサート・デリート誤りを効率的に訂正可能であり、半シングルトン境界に近づけるか。
• RQ2 リード・ソロモン符号が $n-2k+1$ 個のインサート・デリート誤りを訂正できるために必要な最小体サイズは何か。
• RQ3 指数的体サイズより小さい体サイズ上での、インサート・デリート誤り用の決定的かつ多項式時間のリード・ソロモン符号構成が可能か。
• RQ4 $﫲$ 上の線形符号のレートは、訂正可能なインサート・デリート誤りの割合とどのように関係するか。
• RQ5 $[n,2]$ リード・ソロモン符号の体サイズを指数的から多項式的サイズに削減可能か、かつ高い誤り訂正能力を維持できるか。

主な発見

• 本稿は、$﫲$ 上の線形符号を構築し、最大 $\frac{1}{54}$ 割合の削除誤りを訂正可能であり、レート $R = \frac{1 - 54\theta}{1216}$ を達成し、従来の構成を著しく改善する。
• $﫲$ 上の線形符号では、$﫲^2$-線形性を用いることで、レートが $(1-\theta)/4 - 訟$ に達し、ほぼ最適な性能を実現する。
• 体サイズ $n^{O(k)}$ のリード・ソロモン符号は $n-2k+1$ 個のインサート・デリート誤りを訂正可能であり、半シングルトン境界に到達する。
• 体サイズ $n^{k^{O(k)}}$ 上でのこのようなリード・ソロモン符号の決定的構成が提供され、$k = O(\frac{\text{log} n}{\text{log}\,\text{log} n}})$ のとき多項式時間デコードが可能である。
• $k=2$ の場合、体サイズ $O(n^4)$ 上の $[n,2]$ リード・ソロモン符号を構築し、$n-3$ 個のインサート・デリート誤りを訂正可能であり、必要な体サイズを指数的から多項式的サイズに削減する。
• 本稿は、このような構成に必要な体サイズの下界を $訩(n^3)$ として証明し、新しい構成が体サイズにおいてほぼ最適であることを示す。