[論文レビュー] Linear codes with two or three weights from weakly regular bent functions

Chunming Tang, Nian Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Ding らおよびZhou らの先行研究を拡張し、弱い正則なバント関数から二重および三重重み線形符号の構成を一般化する。符号の重み分布は、巡回体理論を用いて決定され、平面関数からの符号の重み分布に関する未解決問題が解かれる。主な貢献は、バント関数のワルシュ変換の符号によって重み分布が完全に決定されることであり、これにより、重みが少ない新しい最適符号が得られる。

ABSTRACT

Linear codes with few weights have applications in consumer electronics, communication, data storage system, secret sharing, authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs. This paper first generalizes the method of constructing two-weight and three-weight linear codes of Ding et al. \cite{DD2015} and Zhou et al. \cite{ZLFH2015} to general weakly regular bent functions and determines the weight distributions of these linear codes. It solves the open problem of Ding et al. \cite{DD2015}. Further, this paper constructs new linear codes with two or three weights and presents the weight distributions of these codes. They contains some optimal codes meeting certain bound on linear codes.

研究の動機と目的

• Ding らおよびZhou らの先行研究を超えて、弱い正則なバント関数から二重および三重重み線形符号の構成を一般化すること。
• 巡回体理論を用いて、これらの線形符号の完全な重み分布を特定すること。
• Ding らが提起した、平面関数からの線形符号の重み分布に関する未解決問題を解くこと。
• 従来の構成とは異なる定義集合を用いて、新たな二重および三重重み線形符号のクラスを構築すること。
• 既知の符号パラメータの上限を満たす最適線形符号を同定すること。

提案手法

• Ding らおよびZhou らの符号構成法を、任意の弱い正則なバント関数に一般化する。
• 定義集合 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^\times : \mathrm{Tr}_{1}^{m}(F(x)) = 0\}$ を、トレース関数 $\mathrm{Tr}_{1}^{m}(F(x))$ を用いて定義する。
• 定義集合 $D$ を用いて線形符号 $\mathcal{C}_D = \{ (\mathrm{Tr}_{1}^{m}(\beta d_1), \dots, \mathrm{Tr}_{1}^{m}(\beta d_n)) : \beta \in \mathbb{F}_q \}$ を定義する。
• 指数和の解析と重み分布の特定に、巡回体理論を適用する。
• 弱い正則なバント関数のワルシュ変換の符号に依存して、重み分布を完全に特徴付ける。
• 例えば $D_{f,\text{sq}}$、$D_{f,\text{nsq}}$ およびその補集合といった、代替の定義集合を用いて、新たな二重および三重重み符号を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ding らおよびZhou らの二重および三重重み符号の構成法を、すべての弱い正則なバント関数に一般化できるか？
• RQ2 一般化された方法を用いて弱い正則なバント関数から構成された線形符号の完全な重み分布は何か？
• RQ3 弱い正則なバント関数のワルシュ変換の符号が、関連する線形符号の重み分布を完全に決定するか？
• RQ4 異なる定義集合を用いて、最適な符号をもたらす新たな二重および三重重み線形符号を構築できるか？
• RQ5 これらの符号の重み分布は、秘密分散、関連付けスキーム、および強正則グラフへの応用とどのように関係するか？

主な発見

• 弱い正則なバント関数から構成された線形符号の重み分布は、バント関数のワルシュ変換の符号によって完全に決定される。
• Ding らが提起した、平面関数からの符号の重み分布に関する未解決問題は、弱い正則なバント関数への一般化によって解かれる。
• 従来の研究とは異なる定義集合を用いて、新たな二重および三重重み線形符号のクラスが構築され、これにより追加の最適符号が得られる。
• 関数 $f(x) = \mathrm{Tr}_1^m(cx^{(3^i+1)/2})$ において $i$ が奇数で $\gcd(i,m) = 1$ のとき、ゼロにおけるワルシュ変換は $\mathcal{W}_f(0) = (-1)^{m-1}\eta(c)\sqrt{p^*}^m$ であり、符号 $\varepsilon = (-1)^{m-1}\eta(c)$ が重み分布を完全に決定する。
• Coulter-Matthews のバント関数に対して、符号 $\mathcal{C}_{D_f}$、$\mathcal{C}_{\overline{D}_f}$、$\mathcal{C}_{D_{f,\text{sq}}}$、$\mathcal{C}_{\overline{D}_{f,\text{sq}}}$、$\mathcal{C}_{D_{f,\text{nsq}}}$、および $\mathcal{C}_{\overline{D}_{f,\text{nsq}}}$ の重み分布はすべて完全に決定される。