[論文レビュー] Linear Convergence of the Douglas-Rachford Method for Two Closed Sets

Hung M. Phan|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間内の2つの閉集合に対して、正則性条件下でDouglas-Rachford（DR）法のR線形収束を確立する。超正則な2つの集合に対しては強い正則性のもとで局所的R線形収束を証明し、相対内部が空でない2つの凸集合に対してはグローバルR線形収束を示し、最近の収束速度に関する結果を回復・拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the Douglas-Rachford method for two closed (possibly nonconvex) sets in Euclidean spaces. We show that under certain regularity conditions, the Douglas-Rachford method converges locally with R-linear rate. In convex settings, we prove that the linear convergence is global. Our study recovers recent results on the same topic.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間内に存在する2つの閉集合（可能であれば非凸であるものも含む）に対して、Douglas-Rachford法のR線形収束を確立すること。
• 強い正則性やアフィン包正則性といったより強い正則性条件を導入することで、従来の局所収束結果を拡張すること。
• 相対内部の交わりが空でない2つの凸集合に対して、グローバルR線形収束を証明すること。
• 固定点およびシャドウ反復（P_A x_n, P_B x_n）が、実行可能解への収束において果たす役割を明確にすること。
• 明示的な収束速度を提示し、反復列x_nが遅く収束する場合でも、シャドウ列が線形に収束することを示すこと。

提案手法

• 集合AおよびBへの射影と反射を用いて定義されるDouglas-Rachford作用素T(x) = ½(Id + R_B R_A)(x)を用いる。
• A ∪ Bのアフィン包に制限することで問題を単純化するためのアフィン包還元を適用する。
• 射影のFejér単調性および非拡大性を用いて収束行動を分析する。
• 交点における正規コーンが良好に振る舞うことを保証するため、超正則性の概念を導入・利用する。
• 局所的R線形収束を保証するため、強い正則性およびアフィン包正則性条件を用いる。
• 角度や線形正則性のモジュラスなどの幾何的パラメータを用いて、明示的なR線形収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの非凸な閉集合に対して、Douglas-Rachford法がR線形速度で収束する条件は何か？
• RQ2 1つのアフィン集合と1つの超正則集合に対して得られた局所的R線形収束結果を、2つの超正則集合へと拡張できるか？
• RQ3 どのような正則性条件が、シャドウ反復P_A x_nおよびP_B x_nがA ∩ B内の実行可能点に収束することを保証するか？
• RQ4 相対内部の交わりが空でない2つの凸集合に対して、グローバルR線形収束が成立するか？
• RQ5 凸設定下でのDR法の定量的収束速度は何か？また、既知の境界と比較するとどうなるか？

主な発見

• AおよびBが超正則であり、{A,B}が強い正則性を満たすとき、DR反復列は局所的にR線形収束する。
• AおよびBが超正則であり、{A,B}がアフィン包正則性を満たすとき、DR反復列は固定点x̄にR線形速度で収束し、P_A x̄ ≡ P_B x̄ ∈ A ∩ B が成り立つ。
• 相対内部の交わりが空でない2つの凸集合に対して、DR反復列はグローバルに固定点x̄にR線形速度で収束し、P_A x̄ ≡ P_B x̄ ∈ A ∩ B が成り立つ。
• 2次元の2つの凸ストリップに対して明示的なR線形収束速度が導出され、κ = √((17 + 2√2)/20) ≈ 0.922 が得られる。
• シャドウ列(P_A x_n)および(P_B x_n)は、反復列x_nが遅く収束する場合でも、A ∩ B内の解にR線形に収束する。
• HesseとLuke（2015）の先行研究を拡張し、2つの凸集合に対して初めてのグローバルR線形収束結果を提供する。