[論文レビュー] Linear identification of nonlinear systems: A lifting technique based on the Koopman operator

Alexandre Mauroy, Jorge Gonçalves|arXiv (Cornell University)|May 14, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形力学系を同定するための新規な間接的手法を提案する。この手法は、Koopman作用素を介して観測関数の無限次元空間へ問題を挙上することで、線形システム同定手法を用いて多項式ベクトル場を回復可能にする。低サンプリングレートのデータを用いて、不安定・カオス的・オープン系を、ノイズに強く耐性のある形で同定可能であり、ベクトル場およびネットワークトポロジーの再構築において高い正確性を示している。

ABSTRACT

We exploit the key idea that nonlinear system identification is equivalent to linear identification of the socalled Koopman operator. Instead of considering nonlinear system identification in the state space, we obtain a novel linear identification technique by recasting the problem in the infinite-dimensional space of observables. This technique can be described in two main steps. In the first step, similar to the socalled Extended Dynamic Mode Decomposition algorithm, the data are lifted to the infinite-dimensional space and used for linear identification of the Koopman operator. In the second step, the obtained Koopman operator is "projected back" to the finite-dimensional state space, and identified to the nonlinear vector field through a linear least squares problem. The proposed technique is efficient to recover (polynomial) vector fields of different classes of systems, including unstable, chaotic, and open systems. In addition, it is robust to noise, well-suited to model low sampling rate datasets, and able to infer network topology and dynamics.

研究の動機と目的

• 限られた、ノイズが混入している、または低サンプリングレートのデータから非線形力学系を同定する課題に対処すること。
• 非線形同定問題を観測関数空間における線形同定問題に再定式化することで、Koopman作用素理論とデータ駆動型システム同定の間のギャップを埋めること。
• 低サンプリングレートでは実行不可能な時間微分の直接推定を回避する手法を開発すること。
• 不安定およびカオス的システムを含むベクトル場の正確な回復を可能とし、軌道データからネットワークトポロジーを同定すること。
• スケーラブルな小規模データセットおよび複雑なダイナミクスに適した、線形手法に基づくフレームワークを提供すること。

提案手法

• 非線形システムをKoopman作用素を用いて、観測関数の無限次元空間へ挙上し、この空間ではシステムのダイナミクスが線形化される。
• スナップショットデータを用いて、この空間におけるKoopman作用素の線形同定を実行する。これは、拡張動的モード分解（EDMD）アルゴリズムの一部に類似している。
• 同定されたKoopman作用素を、線形最小二乗問題を用いて有限次元状態空間へ射影することで、元のベクトル場係数を回復する。
• Koopman作用素の数値計算を可能とするために、多項式関数の有限基底を用いる。
• Koopman作用素の無限小生成子は、[4]と同様の導出によりベクトル場と解析的に関連付けられ、非線形ダイナミクスの再構築が可能になる。
• プロセスノイズおよび入力を含むオープン系を扱うために、データ生成および同定プロセスにノイズモデルを組み込むことで、手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Koopman作用素を用いて、観測関数空間における線形同定に非線形システム同定を再定式化できるか？
• RQ2 この挙上手法は、低サンプリングレートでノイズが混入した軌道データから多項式ベクトル場をどれほど正確に回復できるか？
• RQ3 不安定またはカオス的システムにおいて、測定ノイズおよびプロセスノイズに対して、この手法はどの程度耐性を示すか？
• RQ4 限られた軌道データから、ネットワークトポロジーおよびダイナミクスを正確に再構築できるか？
• RQ5 時間微分推定を必要とする直接的手法と比較して、この手法の性能はいかがであるか？

主な発見

• 2次元非線形系（外力項あり）のベクトル場係数回復において、10回のシミュレーション平均で、平均二乗誤差（RMSE）が0.025に達した。
• 強いプロセスノイズ（σproc = 1）の下でも、同定手法は耐性を示し、RMSEが0.078に保たれた。これは、測定ノイズおよびプロセスノイズの両方に対して耐性があることを示している。
• 複雑な非線形相互作用を有する12次元系において、1500点のデータでRMSEが0.021に達し、300本の軌道のみでも有効であった（RMSE = 0.151）。
• 閾値0.1を用いたネットワーク再構築では、真正陽性率が0.875、偽陽性率が0.023となり、真のリンクを高精度で同定できることを示している。
• この手法は、ネットワークにおけるリンクの存在だけでなく、そのタイプ（例：2次、3次）および重み（係数値）の同定も可能である。
• このアプローチは、低サンプリングレートのデータに適しており、時間微分推定の必要がないため、測定が疎である生物学的・工学的システムへの応用が可能である。