[論文レビュー] Linear relations, monodromy and Jordan cells of a circle valued map

Dan Burghelea|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形関係を用いて円周値写像のジョルダン細胞を計算するための新しいアルゴリズムを導入し、無限巡回被覆やグラフ表現に依存せずにモノドロミーのホモトピー不変性を幾何学的に証明する。この手法により、有限複体上の単体的写像を用いて、ノヴィコフベッチ数やアレクサンダー多項式などの位相的不変量を効率的に計算可能となる。

ABSTRACT

In this paper we consider the definition of " monodromy of an angle valued map" based on linear relations as proposed in Burghelea-Haller (3). This definition provides an alternative treatment of monodromy and computationally an alternative calculation of the "Jordan cells", topological persistence invariants of a circle valued maps introduced in Burghelea-Day (2). We give a new geometric proof that the monodromy is actually a homotopy invariant of a pair consisting of a compact ANR and an integral degree one cohomology class without any reference to the infinite cyclic cover associated to cohomology class as in (3), or to the graph representation associated an angle valued map defining the cohomology class as in (2). Most important, we describe an algorithm to calculate the monodromy for a simplicial angle valued map defined on a finite simplicial complex, providing a new algorithm for the calculation of the Jordan cells of the map, shorter than the one proposed in (2). We indicate the computational usefulness of "Jordan cells", and in particular of the proposed algorithm, for the calculation of other basic topological invariants of the pair.

研究の動機と目的

• 無限巡回被覆やグラフ表現を用いないで、ペア $(X, \tilde{\theta})$ におけるモノドロミーがホモトピー不変であることを幾何学的に証明すること。
• 有限単体複体上の単体的角値写像のジョルダン細胞を計算するためのアルゴリズムを開発し、従来の手法よりも短い計算経路を提供すること。
• ジョルダン細胞を用いた、ノヴィコフベッチ数、$L^2$-ベッチ数、アレクサンダー多項式などの基本的位相的不変量の計算における計算的有用性を示すこと。
• モノドロミーとジョルダン細胞が、特定の代表写像 $f: X \to \mathbb{S}^1$ に依存せず、ホモトピーおよび安定化における不変性によりペア $(X, \tilde{\theta})$ のみに依存することを確立すること。
• 線形関係や関係の正則部といった線形代数的構造を用いて、円周値写像のパーシsistente homology 不変量の計算を統一的かつ簡略化すること。

提案手法

• モノドロミーは、レベル集合のホモロジー群上の線形関係によって定義され、無限巡回被覆やグラフ表現を必要としない。
• アルゴリズムは、隣接するレベル集合のホモロジー群間の写像から導かれる線形関係の合成の正則部 $R(A,B)_{\text{reg}}$ を計算する。
• ジョルダン細胞は、$G_{2m}$-表現に関連する線形関係 $R(\rho)$ として表現されるモノドロミー作用素 $T^{(X,\xi)}(r)$ の正則部から抽出される。
• すべての角が弱く正則となるように単体的写像を有限複体に適用することで、アルゴリズムの実行可能性を保証する。
• 線形関係の正則部と特異部への分解に依存し、ジョルダン細胞は正則部によって決定される。
• 明示的な例を通じてアルゴリズムの妥当性を検証し、[2]における手法よりも短い計算経路を示し、パーシステントホモロジー不変量の計算において優位性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノヴィコフホモロジーもしくは無限巡回被覆を用いずに、円周値写像のモノドロミーがホモトピー不変であることを証明できるか？
• RQ2 グラフ表現に基づく手法よりも、円周値写像のジョルダン細胞を効率的に計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 ジョルダン細胞は、ノヴィコフベッチ数やアレクサンダー多項式などの位相的不変量を計算するためにどのように利用できるか？
• RQ4 写像のジョルダン細胞と関連する線形関係の正則部との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 任意のコンパクト ANR および整数コホモロジー類に対して、単体的近似を用いてモノドロミーを一貫して定義・計算できるか？

主な発見

• モノドロミー作用素 $T^{(X,\xi)}(r)$ はペア $(X, \xi)$ のホモトピー不変量であり、無限巡回被覆やノヴィコフホモロジーに依存しない幾何学的証明がなされた。
• 有限単体複体上の単体的角値写像に対して、ジョルダン細胞 $\mathcal{J}_r(X;\xi)$ を計算する新しいアルゴリズムが開発され、従来の手法と比較して計算複雑度が低減された。
• ジョルダン細胞はモノドロミー関係 $R(\rho)_{\text{reg}}$ の正則部と等価であり、その構造は線形関係 $R(\rho) = R^\dagger(\beta_m) \cdot R(\alpha_m) \cdots R^\dagger(\beta_1) \cdot R(\alpha_1)$ によって完全に記述される。
• アルゴリズムは $R(A,B)_{\text{reg}}$ を効率的に計算でき、バーコードやジョルダン細胞などのパーシステント不変量の高速計算を可能にする。
• この手法により、$L^2$-ベッチ数やノヴィコフベッチ数がジョルダン細胞分解を用いて計算可能となり、標準的な無限被覆構成の計算的代替手段を提供する。
• 安定化によるアーシック ANR に対してこの構成は安定であり、ホモトピー同値を尊重するため、位相的データ解析における頑健性が保証される。