[論文レビュー] Linear sections of the Severi variety and moduli of curves

Maksym Fedorchuk|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可約平面曲線のセベリ多様体の1次元線形切断におけるホッジ bundle の次数を計算する再帰的公式を開発し、モジュライ空間 $\overline{M}_g$ 内の境界 divisor との交点数の計算を可能にする。この手法はカポラーソ＝ハリスの再帰とマムフォードの公式を活用し、有効 divisor の傾きの下界を導出し、特異点を指定した曲線が一般の点を通るような組合せ的問題を解く。

ABSTRACT

We study the Severi variety $V_{d,g}$ of plane curves of degree $d$ and geometric genus $g$. Corresponding to every such variety, there is a one-parameter family of genus $g$ stable curves whose numerical invariants we compute. Building on the work of Caporaso and Harris, we derive a recursive formula for the degrees of the Hodge bundle on the families in question. For $d$ large enough, these families induce moving curves in $\bar{M}_g$. We use this to derive lower bounds for the slopes of effective divisors on $\bar{M}_g$. Another application of our results is to various enumerative problems on $V_{d,g}$.

研究の動機と目的

• 非可約平面曲線のセベリ多様体の1次元線形切断におけるホッジ bundle の次数を計算すること。
• これらの切断と $\overline{M}_g$ 内の境界 divisor およびホッジクラスとの交点数の再帰的公式を導出すること。
• セベリ多様体の切断を動く曲線として用いることで、$\overline{M}_g$ 内の有効 divisor の傾きの下界を確立すること。
• $V^{d,\delta}_{\text{irr}}$ 上の組合せ的問題を解くこと、例えば、cusps、tacnodes、または三重点および $\delta$ 個のノードをもつ曲線の数を数えること。
• 得られた再帰を用いて、特殊な特異点をもつ曲線のlocusの次数の既知の公式を検証および拡張すること。

提案手法

• 一般の $\mathbb{P}^2$ 内の $N-1$ 個の点を通る超平面を用いて、セベリ多様体 $V^{d,\delta}_{\text{irr}}$ の1次元線形切断を構成する。ここで $N = \dim V_{d,g}$ である。
• セベリ多様体 $N^{d,\delta}_{\text{irr}}$ 及び関連する不変量の次数を計算するために、カポラーソ＝ハリスの再帰を適用する。
• 定理 1.11 で示される再帰的公式（$L^{d,\delta}_{\text{irr}} = C^{d,\delta}_{\text{irr}} \cdot \lambda$）を導出し、切断曲線上のホッジ bundle の次数を求める。
• 境界 divisor $\Delta$ とホッジクラス $\lambda$ との交点数を関係付けるために、マムフォードの公式 $C = 12\lambda - \Delta$ を用いる。
• $B^{d,\delta}(\alpha,\beta)$ の再帰を用いて、特定の特異点をもつ曲線を数える divisor $B$ との交点数を計算する。
• クレマン＝ピエーナおよびバカイルの既存の文献と一致する結果を数値計算により確認し、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約平面曲線のセベリ多様体の1次元線形切断におけるホッジ bundle の次数は、次数 $d$ および幾何学的 genus $g$ のもとでどのように計算できるか？
• RQ2 $\overline{M}_g$ 内の境界 divisor $\Delta_0, \Delta_1, \dots$ とのこのような切断の交点数はどのように計算できるか？
• RQ3 これらの切断を動く曲線として用いることで、$\overline{M}_g$ 内の有効 divisor の傾きにどのような下界を確立できるか？
• RQ4 セベリ多様体上での交点論を用いて、cusp、tacnode、または三重点および $\delta$ 個のノードをもつ非可約平面曲線の数はどのように計算できるか？
• RQ5 $V^{d,\delta}_{\text{irr}}$ 内で単一の三重点および $\delta$ 個のノードをもつ曲線のlocus の構造と次数は何か？

主な発見

• 本稿は、$L^{d,\delta}_{\text{irr}} = C^{d,\delta}_{\text{irr}} \cdot \lambda$ である切断曲線上のホッジ bundle の次数を求める再帰的公式を導出し、$\overline{M}_g$ 内の交点数の計算を可能にする。
• $\delta = 1$ の場合、ホッジ bundle の次数は $L^{d,1} = \frac{3}{2}(d-1)(d-2)(d-3)(d+1)$ であり、$d$ についての4次多項式である。
• $\delta = 2$ の場合、ホッジ bundle の次数は $L^{d,2} = \frac{1}{4}(9d^6 - 63d^5 + 66d^4 + 333d^3 - 553d^2 - 480d + 828)$ であり、$d$ についての6次多項式である。
• $cuspidal$ 曲線の数 $C^{d,1}_{\text{irr}}$ は $12(d-1)(d-2)$ として計算され、古典的公式と一致する。
• $B^{d,\delta}(\alpha,\beta)$ の再帰により、指定された特異点をもつ曲線を数える divisor $B$ との交点数を計算できる。
• 数値計算により、$\delta \leq 3$ および $g = 0,1,2,3$ の場合に、クレマン＝ピエーナおよびバカイルの既存の結果と一致し、手法の妥当性が検証された。