[論文レビュー] Linear Size Universal Point Sets for Classes of Planar Graphs

Stefan Felsner, Hendrik Schrezenmaier+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、二部平面グラフおよび三分岐平面グラフのための線形サイズの普遍的点集合として、サイズ $2n - 2$ の爆発的二重鎖点集合を導入する。主な貢献は、片側ハミルトン閉路をもつ平面グラフ（POSHグラフ）が、この点集合上で交差なしに埋め込み可能であることを証明したことであり、1折れ線描画の境界を著しく改善し、外平面グラフを超える既知の結果を拡張している。

ABSTRACT

A finite set $P$ of points in the plane is $n$-universal with respect to a class $\mathcal{C}$ of planar graphs if every $n$-vertex graph in $\mathcal{C}$ admits a crossing-free straight-line drawing with vertices at points of $P$. For the class of all planar graphs the best known upper bound on the size of a universal point set is quadratic and the best known lower bound is linear in $n$. Some classes of planar graphs are known to admit universal point sets of near linear size, however, there are no truly linear bounds for interesting classes beyond outerplanar graphs. In this paper, we show that there is a universal point set of size $2n-2$ for the class of bipartite planar graphs with $n$ vertices. The same point set is also universal for the class of $n$-vertex planar graphs of maximum degree $3$. The point set used for the results is what we call an exploding double chain, and we prove that this point set allows planar straight-line embeddings of many more planar graphs, namely of all subgraphs of planar graphs admitting a one-sided Hamiltonian cycle. The result for bipartite graphs also implies that every $n$-vertex plane graph has a $1$-bend drawing all whose bends and vertices are contained in a specific point set of size $4n-6$, this improves a bound of $6n-10$ for the same problem by Löffler and Tóth.

研究の動機と目的

• 非自明なクラスの平面グラフに対して、線形サイズの普遍的点集合を有するクラスを特定および特徴付ける。
• 構造化された点集合を用いて、平面グラフの1折れ線描画および直線描画の既存の境界を改善する。
• 爆発的二重鎖点集合が、外平面グラフを超える広範な平面グラフクラスに対して平面直線埋め込みをサポートすることを確立する。
• 片側ハミルトン閉路をもつグラフ（POSHグラフ）の構造的性質を調査し、特定の点集合への埋め込み可能性を検討する。

提案手法

• サイズ $2n - 2$ の爆発的二重鎖点集合 Hn を、平面グラフの候補普遍的点集合として導入する。
• 片側ハミルトン閉路をもつグラフのスパニング部分グラフとして、POSH（部分的片側ハミルトン）グラフのクラスを定義する。
• 2ページ本の埋め込みの構造的解析とエッジのバックエッジ分離を用いて、点集合内での頂点配置の制約を証明する。
• 頂点分布（例：エッジに関して左、中央、右の領域に対する境界）に関する主張を適用し、交差のない埋め込み条件を導出する。
• 3正則グラフにおける完全マッチングに関するペテルセンの定理といった既知の結果を活用し、一般の平面グラフを二部グラフに変換する。
• 双対グラフの埋め込みとサイズの上限を用いることで、同じ点集合がすべての $n$ 頂点平面グラフの1折れ線描画をサポートすることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外平面グラフを超える非自明なクラスの平面グラフに対して、真に線形サイズ $O(n)$ の普遍的点集合を構築可能か？
• RQ2 爆発的二重鎖点集合は、片側ハミルトン閉路をもつすべての平面グラフに対して平面直線埋め込みをサポートするか？
• RQ3 すべての $n$ 頂点平面グラフの1折れ線描画をサポートする点集合の最小サイズは何か？ かつ、これより既存の境界を超える改善は可能か？
• RQ4 二部平面グラフおよび三分岐平面グラフは、サイズ $2n - 2$ の普遍的点集合上で埋め込み可能か？
• RQ5 2-木や系列並列グラフなどのグラフクラスは、POSHでないことがあり、これは線形普遍的点集合への適用における制限を示唆するか？

主な発見

• サイズ $2n - 2$ の普遍的点集合が、$n$ 頂点の二部平面グラフのクラスに存在する。
• 同じ点集合（サイズ $2n - 2$）が、最大次数3のすべての $n$ 頂点平面グラフをカバーする。
• 片側ハミルトン閉路をもつグラフ（POSHグラフ）のクラスは、爆発的二重鎖点集合上で埋め込み可能であり、外平面グラフを超える。
• この結果により、すべての $n$ 頂点平面グラフに対する1折れ線描画境界が $4n - 6$ に改善され、以前の $6n - 10$ よりも良好である。
• すべての2-木がPOSHでないことが判明し、この方法による2-木クラスの線形普遍的点集合の導入は不可能であり、アプローチの限界を示唆する。
• 2ページ本の埋め込みにおける頂点分布制約を用いた非POSHグラフの構造的特徴付けが得られ、499頂点の反例を構築し、非埋め込み可能性を証明した。