[論文レビュー] Linear topologies on $\Z$ are not Mackey topologies

Lydia Außenhofer, Daniel de la Barrera Mayoral|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、整数環 ℤ 上の非離散的線形位相が、Mackey 位相でないことを示しており、Dikranjan が提起した ℤ 上の p-進位相が Mackey 位相かどうかという疑問に否定的に答えている。著者らは、同じ特徴群を持つより強い可分局所擬凸位相群位相を構成することで、ℤ 上の線形位相が、適合位相の中で最大でないことを証明し、Mackey 位相である可能性を排除した。

ABSTRACT

In this article it is shown that to every non-discrete Hausdorff linear topology on $\Z$ other metrizable locally quasi-convex group topologies can be associated which are strictly finer than the linear topology and such that the character groups coincide. Applying this result to the $p$-adic topology on $\Z$, we give a negative answer to the question of Dikranjan, whether this topology is Mackey.

研究の動機と目的

• Dikranjan が提起した、ℤ 上の p-進位相が Mackey 位相かどうかという未解決問題を解消すること。
• ℤ 上の線形群位相が、適合可能局所擬凸位相の中で最大（すなわち Mackey）である可能性を調査すること。
• 双対群と双対性に関する適合位相の構造を分析すること。
• 非離散的線形位相が ℤ 上で Mackey 位相でないことを、同一の双対群を持つより強い適合可能位相の構成によって確立すること。

提案手法

• アーベル位相群の双対性理論を用い、特徴群と適合位相の概念に焦点を当てる。
• 局所擬凸群および極（polar）／前極（pre-polar）構成を用いて位相的性質を分析する。
• 与えられた線形位相 λ に対して、(ℤ, λ)∧ = (ℤ, τ)∧ を満たすより強い可分局所擬凸群位相 τ を構成する。
• D∞ に属する列 (b_n) を用いた基底に基づく構成により、位相 τ_b を定義し、c₀(𝕋) への包含関係を通じて特徴群と関連付ける。
• ℝ/ℤ 内の要素の整数倍の推定を用いて、λ が Mackey であると仮定した場合に矛盾を導く。
• c₀(X) 及びその双対に関する結果を適用し、ℤ → c₀(𝕋) の包含が双対的に埋め込まれていることを示し、必要な位相的比較の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ 上の p-進位相は Mackey 位相か？
• RQ2 ℤ 上の非離散的線形位相が、その特徴群に関して Mackey 位相になり得るか？
• RQ3 ℤ 上に、Mackey 位相である可分局所擬凸群位相が存在するか？
• RQ4 ℤ 上に、真の開部分群を持たない可分预compact Mackey 位相が存在するか？
• RQ5 無理数 α に対して k ↦ αk + ℤ を通じて誘導される ℤ 上の位相 λ_α は Mackey 位相か？

主な発見

• 非離散的線形位相は、適合可能局所擬凸位相の中で最大でないため、ℤ 上で Mackey 位相にはなり得ない。
• 任意の非離散的線形位相 λ に対して、(ℤ, λ)∧ = (ℤ, τ)∧ を満たすより強い可分局所擬凸群位相 τ が存在する。
• ℤ 上の p-進位相は Mackey 位相でない。これは Dikranjan の問いに否定的な答えを与える。
• 構成は、D∞ に属する列 (b_n) を用いて位相 τ_b を定義し、λ_b < τ_b であるが特徴群を保つことを示す。
• 包含 ℤ → c₀(𝕋) は双対的に埋め込まれており、証明で用いられる双対性の議論を支援する。
• 主な矛盾は、ℝ/ℤ 内の要素の整数倍の推定から生じ、ある特徴が 𝕋₊ に写らないことにより、擬凸性が破れる。