[論文レビュー] Linearly many rainbow trees in properly edge-coloured complete graphs

Alexey Pokrovskiy, Benny Sudakov|BIROn (Birkbeck, University of London)|Mar 21, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の適切に辺彩色された完全グラフ $K_n$ が少なくとも $10^{-6}n$ 個の辺に分けられた同型のレインボー全域木を含むことを証明しており、Brualdi-Hollingsworth、Kaneko-Kano-Suzuki、Constantine の3つの主要な予想における従来の境界を顕著に改善している。この結果は確率的および極値的組合せ論的手法を用いて得られ、任意の適切な辺彩色において、このような木の数に線形下界が存在することを確立している。

ABSTRACT

A subgraph of an edge-coloured complete graph is called rainbow if all its edges have different colours. The study of rainbow decompositions has a long history, going back to the work of Euler on Latin squares. In this paper we discuss three problems about decomposing complete graphs into rainbow trees: the Brualdi-Hollingsworth Conjecture, Constantine's Conjecture, and the Kaneko-Kano-Suzuki Conjecture. We show that in every proper edge-colouring of $K_n$ there are $10^{-6}n$ edge-disjoint spanning isomorphic rainbow trees. This simultaneously improves the best known bounds on all these conjectures. Using our method we also show that every properly $(n-1)$-edge-coloured $K_n$ has $n/9$ edge-disjoint rainbow trees, giving further improvement on the Brualdi-Hollingsworth Conjecture.

研究の動機と目的

• レインボー木分解に関する Brualdi-Hollingsworth、Kaneko-Kano-Suzuki、Constantine の予想に対する、これまでに得られた最良の定量的境界を改善すること。
• 任意の適切に辺彩色された $K_n$ において、辺に分けられた同型のレインボー全域木の数に線形下界を確立すること。
• 特定の構造的性質（例：制御された次数を持つスパイダー）を備えた木を同時に埋め込むことの可能性を示し、同型性を超えた範囲への拡張を達成すること。
• 有界彩色においてレインボー木の存在がどの程度頑健であるかを検討し、適切な彩色と対比して考察すること。

提案手法

• 適切に辺彩色された $K_n$ に複数の辺に分けられたレインボー木を埋め込むために、確率的構成法が用いられている。
• 辺に分けられることとレインボー性を保証するために、極値的グラフ理論と彩色制約が活用されている。
• 特定の木の型（例：$t$-スパイダー）を制御された次数分布で構成するために、鍵となる補題が適用されている。
• 一般の適切な彩色と $K_n$ の $(n-1)$-辺彩色の特別な場合の両方に対応できるように、手法が適応されている。
• レインボー構造を保証するために、ラマジー理論および正準彩色の技法が暗黙的に用いられている。
• 構造的帰納法と確率的埋め込みを組み合わせることで、線形サイズの木の族が達成されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の適切に辺彩色された $K_n$ は $\Omega(n)$ 個の辺に分けられた同型のレインボー全域木を含むだろうか？
• RQ2 適切に辺彩色された $K_n$ における辺に分けられたレインボー全域木の数の最良の可能な下界は何か？
• RQ3 次数が有界なスパイダーのような特定の木の型を、同時に辺に分けられたレインボー木として埋め込むことは可能だろうか？
• RQ4 有界彩色 $b$-彩色においても線形に多くのレインボー木が存在するのだろうか、それとも適切な彩色でのみ成立するのだろうか？
• RQ5 結果を任意の $n$ 頂点木のレインボーコピーを $K_n$ で見つけるために拡張することは可能だろうか？

主な発見

• 本稿では、任意の適切に辺彩色された $K_n$ において、$10^{-6}n$ 個の辺に分けられた同型のレインボー全域木が存在することを確立している。
• この結果は、同時に Brualdi-Hollingsworth、Kaneko-Kano-Suzuki、Constantine の予想に対するこれまでに得られた最良の境界を改善している。
• $(n-1)$-辺彩色された $K_n$ に対しては、$n/9 - 6$ 個の辺に分けられたレインボー木が存在することを証明している。
• 本手法により、次数が $0.003n$ から $0.2n$ の間である $0.000001n$ 個の辺に分けられたレインボー全域スパイダーを構成可能である。
• 著者らは、このような結果が $9$-有界彩色には拡張されないことを示しており、そのような彩色では半径 $2$ の単一の全域レインボー木ですら存在しない可能性がある。
• Balogh, Liu, および Montgomery の最近の結果により、$\epsilon n$ 個の辺に分けられた全域レインボー木が存在することが確認されており、予想の漸近的妥当性を支持している。