[論文レビュー] Lions' maximal regularity problem with H 1/ 2 -regularity in time

Mahdi Achache, El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ における非自己同型進化方程式の J.L. Lions の最大正則性問題を解決し、$ L^2 $-最大正則性のための最適な条件として時間方向の $ H^{1/2} $-正則性を確立する。著者らは、時間に依存するセミ線形形式が局所的に $ H^{1/2} $-正則である場合、初期値問題が $ H^1(0,\tau;\mathcal{H}) \cap L^2(0,\tau;\mathcal{V}) $ 内に一意解を有することを証明し、最小限の仮定の下で最新の知見を拡張する。

ABSTRACT

We consider the problem of maximal regularity for non-autonomous Cauchy problems u ' (t) + A(t) u(t) = f (t), t $\\in$ (0, $\ au$ ] u(0) = u 0. The time dependent operators A(t) are associated with (time dependent) sesquilinear forms on a Hilbert space H. We are interested in J.L. Lions's problem concerning maximal regularity of such equations. We give a positive answer to this problem under minimal regularity assumptions on the forms. Our main assumption is that the forms are piecewise H 1 2 with respect to the variable t. This regularity assumption is optimal and our results are the most general ones on this problem.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ における非自己同型進化方程式の J.L. Lions の未解決の最大正則性問題を解決すること。
• ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ における $ L^2 $-最大正則性を保証する時間に依存するセミ線形形式の最小正則性条件を同定すること。
• 時間方向の $ H^{1/2} $-正則性が最適であることを確立し、理論における長年のギャップを埋めること。
• 楕円型作用素に時間に依存する係数および境界条件（ロビン型や低次の項を含む）を適用し、最大正則性結果を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ 上の稠密な定義域 $ \mathcal{V} \hookrightarrow \mathcal{H} \hookrightarrow \mathcal{V}' $ を持つ時間に依存するセミ線形形式 $ \mathfrak{a}(t; \cdot, \cdot) $ を用いて非自己同型初期値問題を分析する。
• 標準的な仮定を課す：定常的形領域（H1）、一様有界性（H2）、一様擬双曲性（H3）。
• 主な革新は、形式が時間方向に局所的 $ H^{1/2} $-正則であると仮定することである。すなわち、すべての $ u,v \in \mathcal{V} $ に対して $ t \mapsto \mathfrak{a}(t; u, v) \in H^{1/2}(0,\tau) $ である。
• 分数的ソボレフ空間と双対性の手法に基づく新規な最大正則性枠組みを用いて、$ H^1(0,\tau;\mathcal{H}) \cap L^2(0,\tau;\mathcal{V}) $ 内の事前推定を得る。
• 結果を発散型形式の楕円型作用素およびロビン型境界条件に適用し、係数における $ H^{1/2} $-正則性条件の妥当性を検証する。
• 正則性の制御には補間理論、トレース定理、および一様カトウ平方根性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己同型進化方程式のヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ における $ L^2 $-最大正則性のための時間方向の $ H^{1/2} $-正則性が最小の可能性を持つ条件か？
• RQ2 形式に $ C^1 $、$ C^\alpha $、あるいは有界 variation 正則性を仮定しないで、$ \mathcal{H} $ における最大正則性を達成できるか？
• RQ3 時間に依存する係数を有する楕円型作用素に対して、ロビン型またはディリクレ境界条件の下で $ H^{1/2} $-正則性条件が最大正則性を保証するか？
• RQ4 $ H^{1/2} $-正則性仮定は最適か、それ以上弱めることが可能か？
• RQ5 $ H^{1/2} $-正則性条件は、$ W^{1/2,p} $ や $ C^{\alpha} $ といった既知の正則性仮定と比較して、強さや適用範囲においてどのように異なるか？

主な発見

• 本論文は、$ H^{1/2} $-正則性が $ \mathcal{H} $ における $ L^2 $-最大正則性のための最適な正則性条件であることを確立し、J.L. Lions が提起した長年の未解決問題を解決する。
• 任意の $ f \in L^2(0,\tau;\mathcal{H}) $ および $ u_0 \in \mathcal{H} $ に対して、非自己同型初期値問題を満たす一意解 $ u \in H^1(0,\tau;\mathcal{H}) \cap L^2(0,\tau;\mathcal{V}) $ が存在する。
• 定常的形領域、一様有界性、一様擬双曲性という最小限の仮定に加え、形式の時間方向の $ H^{1/2} $-正則性のみを追加要件とすれば、結果は成り立つ。
• 著者らは、係数が BMO-$ H^{1/2} $ 条件を満たす場合、$ \mathbb{R}^n $ 上の発散型形式の楕円型作用素に対し最大 $ L^2 $-正則性を証明し、既存の結果を回復・拡張する。
• ロビン型境界条件の下では、境界係数 $ \beta(t,\cdot) $ が $ \|\beta(t,\cdot) - \beta(s,\cdot)\|_{L^\infty(\partial\Omega)} \leq c|t-s|^\alpha $（ある $ \alpha > 1/4 $）を満たす場合、形式の $ H^{1/2} $-正則性が保証され、最大正則性が成立する。
• 係数 $ b_k(t,x) $ および $ m(t,x) $ が時間方向に可測である場合でも、正則性を仮定しなくても、低次の項を含む作用素に対しても本手法が適用可能であり、$ H^{1/2} $-フレームワークの強靭性を示している。