[論文レビュー] Lipschitz Properties of Nonsmooth Functions and Set-Valued Mappings via Generalized Differentiation and Applications

Nguyen Mau Nam, Gerardo Lafferriere|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化された微分法、特にMordukhovichの部分微分および共微分基準を用いて、滑らかでない関数—特に最小時間関数とスカラー化関数—のリプシッツ連続性の必要十分条件を確立する。主な貢献は、特異部分微分の自明性および境界点における方向ベクトルに対する正規被覆の横断的性を用いたリプシッツ挙動の特徴付けである。

ABSTRACT

In this paper, we revisit the Mordukhovich's subdifferential criterion for Lipschitz continuity of nonsmooth functions and coderivative criterion for the Aubin/Lipschitz-like property of set-valued mappings in finite dimensions. The criteria are useful and beautiful results in modern variational analysis showing the state of the art of the field. As an application, we establish necessary and sufficient conditions for Lipschitz continuity of the minimal time function and the scalarization function, that play an important role in many aspects of nonsmooth analysis and optimization.

研究の動機と目的

• 有限次元の変分解析におけるMordukhovichの部分微分および共微分基準によるリプシッツ性の性質を再考・精緻化すること。
• 最小時間関数およびスカラー化関数のリプシッツ連続性の必要十分条件を確立すること。
• 理論的かつ一般化された微分法と、非滑らか最適化および感度解析における実用的応用を橋渡しすること。
• 集合値写像の制限正規被覆を用いたAubin/リプシッツ的性質の特徴付けを拡張すること。
• 特異部分微分および正規被覆の横断的性を用いたリプシッツ連続性の完全な特徴付けを提供すること。

提案手法

• 非滑らか関数のリプシッツ挙動を分析するために、Mordukhovichの制限正規被覆および部分微分理論を用いる。
• 共微分基準を適用：集合値写像 $ \mathcal{F} $ が点 $ (\bar{x},\bar{y}) $ の周囲でAubin性質を有するとは、$ (u,0) \in N((\bar{x},\bar{y});\text{gph}\,\mathcal{F}) \Rightarrow u = 0 $ が成り立つことと同値である。
• 中心的対象として最小時間関数 $ \varphi_d(x;\Omega) = \inf\{ t \geq 0 \mid x + td \in \Omega \} $ を用いる。
• 距離関数および射影を用いて、制限正規被覆による部分微分表現を導出する。
• リプシッツ連続性の必要十分条件として特異部分微分 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ を用いる。
• 制限正規被覆の表現を確立：$ \partial \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{ w \in \mathbb{R}^n \mid \langle w, -d \rangle = 1, \, w \in N(\tilde{x};\Omega) \} $、ここで $ \tilde{x} = \bar{x} + t d $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小時間関数 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ が点 $ \bar{x} \in \text{dom}\, \varphi_d(\cdot;\Omega) $ の周囲でリプシッツ連続となる条件は何か？
• RQ2 Mordukhovichの共微分基準を用いて、集合値写像のAubin性質をどのように特徴付けられるか？
• RQ3 最小時間関数の特異部分微分とそのリプシッツ連続性の関係は何か？
• RQ4 正規被覆 $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ が $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ のリプシッツ連続性を示すのはどのような場合か？
• RQ5 共微分基準を用いて、スカラー化関数のリプシッツ連続性の必要十分条件を導出できるか？

主な発見

• 最小時間関数 $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ が $ \bar{x} $ の周囲でリプシッツ連続であることは、$ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ と同値であり、これは $ \tilde{x} = \bar{x} + t d $、$ t = \varphi_d(\bar{x};\Omega) $ において $ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ と同値である。
• 正則性仮定の下で、最小時間関数の制限部分微分は $ \partial \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{ w \in \mathbb{R}^n \mid \langle w, -d \rangle = 1, \, w \in N(\tilde{x};\Omega) \} $ を満たす。
• 特異部分微分 $ \partial^\infty \varphi_d(\bar{x};\Omega) = \{0\} $ は、$ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ の $ \bar{x} $ の周囲でのリプシッツ連続性の必要十分条件である。
• もし $ \Omega $ が $ \tilde{x} $ で正規的であるならば、$ N(\tilde{x};\Omega) \cap \{d\}^\perp = \{0\} $ は $ \varphi_d(\cdot;\Omega) $ のリプシッツ連続性の必要十分条件である。
• Aubin性質の共微分基準は、Mordukhovichの正規被覆を用いた条件 $ (u,0) \in N((\bar{x},\bar{y});\text{gph}\,\mathcal{F}) \Rightarrow u = 0 $ と同値である。
• スカラー化関数は、最小時間関数と同様の正規被覆および部分微分の条件を満たす場合にリプシッツ性を有するよう一般化される。