[論文レビュー] Subgradients of Minimal Time Functions Under Minimal Requirements

Boris S. Mordukhovich, Nguyen Mau Nam|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Optimization and Variational Analysis被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、標準的な内部条件（0 ∈ int F）や安定性仮定を必要とせず、任意のバナッハ空間における最小時刻関数の基本的・特異的劣微分を計算するための洗練された公式を確立する。変分解析および一般化微分の高度な道具を用いて、凸および非凸の標的に対して正確な劣微分表現を提供し、リプシッツ連続性の設定を超えて古典的結果を拡張し、最適制御および近似理論における非滑らか解析の統一的枠組みを提示する。

ABSTRACT

This paper concerns the study of a broad class of minimal time functions corresponding to control problems with constant convex dynamics and closed target sets in arbitrary Banach spaces. In contrast to other publications, we do not impose any nonempty interior and/or calmness assumptions on the initial data and deal with generally non-Lipschitzian minimal time functions. The major results present refined formulas for computing various subgradients of minimal time functions under minimal requirements in both cases of convex and nonconvex targets. Our technique is based on advanced tools of variational analysis and generalized differentiation.

研究の動機と目的

• 0 ∈ int F や安定性を仮定せずにバナッハ空間における最小時刻関数の劣微分計算を展開すること。
• 距離関数およびミンコフスキーのゲージ関数の古典的劣微分結果を一般の最小時刻関数へ拡張すること。
• 凸および非凸の標的に対して、集合内および集合外の両方の点における基本的および特異的劣微分の正確な公式を提供すること。
• 一般化フェルマー＝トリチェリ問題およびパrametric最適化への応用の理論的基盤を構築すること。
• 先行研究で一般的に見られる制限的仮定を除去することで、既存の劣微分公式を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 特にモルデフヒチの基本的／極限劣微分および法線円錐を用いた変分解析と一般化微分の高度な道具を活用する。
• 動的集合 F に関連するミンコフスキーのゲージ ρ_F を用いた表現式 T^F_Ω(x) = inf_{w ∈ Ω} ρ_F(w - x) を適用する。
• 近似的およびフレシェ劣微分に基づく、∂T^F_Ω(̄x) および ∂^∞T^F_Ω(̄x) の極限的構成により劣微分公式を導出する。
• T^F_Ω の劣微分、ミンコフスキーのゲージ ρ_F の劣微分、および標的集合 Ω の法線円錐の間の関係を確立し、特に ∂T^F_Ω(̄x) ⊂ N(̄w; Ω) ∩ [-∂ρ_F(̄w - ̄x)] を示す。
• 集合外の点における劣微分挙動を分析するために、標的集合の Ω_r-拡大の概念を用い、特に 0 ∈ F の条件下で考察する。
• R^2 における明示的な例を通じて結果の妥当性を検証し、凸な動的集合および標的集合に対して正確な劣微分計算を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的集合 F が空内部を持ち、0 ∉ int F である場合、最小時刻関数の劣微分はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 安定性や内部性仮定なしに、集合内および集合外の点における T^F_Ω の基本的および特異的劣微分の正確な公式は何か？
• RQ3 T^F_Ω の劣微分は、集合 Ω の法線円錐およびミンコフスキーのゲージ ρ_F の劣微分とどのように関係するか？
• RQ4 集合外の点における劣微分構造を用いて、T^F_Ω の局所的リプシッツ連続性を特徴づけられるか？
• RQ5 最小構造的仮定の下で、距離関数の古典的理論をどの程度最小時刻関数へ一般化できるか？

主な発見

• 0 ∈ F である限り、̄x ∉ Ω のとき、̄x から Ω への F に関する一意な射影 ̄w が存在するとして、∂T^F_Ω(̄x) = N(̄w; Ω) ∩ [-∂ρ_F(̄w - ̄x)] が成立することが示された。
• 集合内点 ̄x ∈ Ω に対しては、∂T^F_Ω(̄x) = N(̄x; Ω) ∩ C^* が成り立ち、ここで C^* は集合 C の双対円錐であり、C^* = { v ∈ X^* | σ_F(-v) ≤ 1 } である。
• 局所的リプシッツ連続性を示す集合内点では、特異的劣微分 ∂^∞T^F_Ω(̄x) が {0} に等しいことが示された。例えば例における ̄x = (1,0) がこれに該当する。
• 非リプシッツ連続な集合内点 ̄y = (0,1) に対しては、∂^∞T^F_Ω(̄y) = {0} × [0, ∞) であり、非リプシッツ性が確認された。
• 集合外点 ̄z = (2, 1/2) に対しては、劣微分が {(1,0)} に等しく、∂^∞T^F_Ω(̄z) = {0} であることが確認され、局所的リプシッツ連続性が裏付けられた。
• 結果として、F が空内部であっても、射影およびゲージ劣微分の構造のおかげで T^F_Ω が ̄z で局所的リプシッツ連続であることが確認された。