[論文レビュー] Listening to the cohomology of graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元有限単体的複体（グラフ）において、接続ラプラシアン $L$ の固有値の個数により、ベッチ数 $b_0$ と $b_1$ が特定されることを確立している。具体的には、$b_0$ は固有値が 1 に等しい個数に、$b_1$ は固有値が -1 に等しい個数に一致する。さらに、ホッジラプラシアン $H$ が $L - L^{-1}$ に類似していることを示し、$L$ のスペクトルデータとコhomオロジー不変量の間の新しいスペクトル対応を確立している。

ABSTRACT

We prove that the spectrum of the Kirchhoff Laplacian H0 of a finite simple Barycentric refined graph and the spectrum of the connection Laplacian L of G determine each other: we prove that L-L^(-1) is similar to the Hodge Laplacian H of G which is in one dimensions the direct sum of the Kirchhoff Laplacian H0 and its 1-form analog H1. The spectrum of a single choice of H0,H1 or H alone determines the Betti numbers b0,b1 of G as well as the spectrum of the other matrices. It follows that b0 is the number of eigenvalues 1 of L and that b1 is the number of eigenvalues -1 of L. For a general abstract finite simplicial complex G, we express the matrix entries g(x,y) = w(x) w(y) X( St(x) cap St(y) ) of the inverse of L using stars St(x)= { z in G | x subset of z } of x and w(x)=(-1)^dim(x) and Euler characteristic X. One can see W+(x)=St(x) and W-(x)={ z in G | z subset x } as stable and unstable manifolds of a simplex x in G and g(x,y) =w(x) w(y) X(W+(x) cap W+(y)) as heteroclinic intersection numbers or curvatures and the identity L g=1 as a collection of Gauss-Bonnet formulas. The homoclinic energy w(x)=X(W+(x) cap W-(x)) by definition adds up to X(G). The matrix M(x,y)=w(x) w(y) X(W-(x) cap W-(y)) is similar to L(x,y)=X(W-(x) cap W-(y)). The sum of the matrix entries of M is the definition of Wu characteristic. For dimension 2 and higher we don't know yet how to recover the Betti numbers from the eigenvalues of the matrix H or from L. So far, it can only be obtained from a collection of block matrices, via the Hodge relations b_k = dim(H_k). A natural conjecture is that for a Barycentric refinement of a complex G, the spectrum of L determines the Betti vector. We know this now in one dimensions.

研究の動機と目的

• 有限単体的複体における接続ラプラシアン $L$ のスペクトルが、ベッチ数のような位相的不変量を符号化するかを特定すること。
• 1次元複体における $L$、その逆行列 $L^{-1}$、およびホッジラプラシアン $H = (d + d^*)^2$ 間のスペクトル的関係を調査すること。
• 1次元より高い次元の複体において、$L$ の固有値が $k=0,1$ を超えるベッチ数 $b_k$ を回復できるかを調査すること。
• グリーン関数の成分 $g(x,y)$ をスターセット $\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y)$ の位相的交差により表現し、スペクトルデータと曲率およびオイラー特性を結びつけること。
• 類似性を通じて $L$ と $H$ 間のスペクトル的対応を確立し、1次元の場合にコホモロジー的不変量を $L$ のスペクトルから読み取ることを可能にすること。

提案手法

• 単体 $x$ と $y$ が交差する場合 $L(x,y) = 1$、それ以外は $0$ と定義し、ユニモジュラー行列を構成する。
• 行列 $R$ を用いた対角共役により、ホッジラプラシアン $H = (d + d^*)^2$ が $L - L^{-1}$ に類似していることを示し、$R_{ii} = \omega(x_i) = (-1)^{\dim(x_i)}$ である。
• スターセット $\mathrm{St}(x) = \{ z \in G \mid x \subset z \}$ を用いて、グリーン関数の成分を $g(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y))$ と表現し、スペクトルデータと位相的交差を結びつける。
• 安定多様体 $W^+(x) = \mathrm{St}(x)$ と不安定多様体 $W^-(x) = \{ z \in G \mid z \subset x \}$ を定義し、$g(x,y)$ をヘテロクロニック交差数として解釈する。
• $M(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(W^-(x) \cap W^-(y))$ が $L$ に共役であり、そのトレースがウー特性 $\omega(G)$ を与えることを確立する。
• 1次元複体において、$b_0 = \#\{ \lambda = 1 \text{ of } L \}$ および $b_1 = \#\{ \lambda = -1 \text{ of } L \}$ が成り立つことを証明し、固有値を直接ベッチ数に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元単体的複体のベッチ数 $b_0$ と $b_1$ は、接続ラプラシアン $L$ の固有値から回復可能か？
• RQ2 ホッジラプラシアン $H$ は $L - L^{-1}$ に類似しているか？ そしてこの類似性により、コホモロジー的データのスペクトル的回復が可能か？
• RQ3 グリーン関数の成分 $g(x,y)$ は、スターセット $\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y)$ のオイラー特性により表現可能か？
• RQ4 $L$ の固有値 $ olimits = 1$ の個数が、1次元複体における連結成分数 $b_0$ に一致するか？
• RQ5 1次元複体において、$b_1$（ genus ）は $L$ の固有値 $ olimits = -1$ の個数として回復可能か？

主な発見

• 1次元複体において、ベッチ数 $b_0$ と $b_1$ は、それぞれ $L$ のスペクトルにおける固有値が 1 に等しい個数および -1 に等しい個数によって決定される。
• ホッジラプラシアン $H$ は、$R_{ii} = \omega(x_i)$ を満たす対角行列 $R$ を用いた類似性により $L - L^{-1}$ に類似しており、スペクトル的対応を確立している。
• グリーン関数の成分は $g(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(\mathrm{St}(x) \cap \mathrm{St}(y))$ で与えられ、スペクトルデータが位相的交差により表現されている。
• 行列 $M(x,y) = \omega(x)\omega(y)\chi(W^-(x) \cap W^-(y))$ は $L$ に共役であり、そのトレースはウー特性 $\omega(G)$ を与える。
• オイラー特性 $\chi(G)$ は、$L$ の正の固有値個数から負の固有値個数を引いたものに等しく、1次元複体への既知の結果の一般化である。
• 高次元（$r \geq 2$）では、まだ $L$ や $H$ のスペクトルからベッチ数 $b_k$ を回復できないが、バーチカル・リファインメントにおいてはこの性質が成り立つ可能性があると仮説されている。