[論文レビュー] The McKean-Singer Formula in Graph Theory

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Graph theory and applications参考文献 27被引用数 33

ひとこと要約

本稿はグラフ理論におけるMcKean-Singer公式を確立し、有限単純グラフGのオイラー特性χ(G)が、グラフラプラシアンLの熱核e^{-tL}のスーパitraceに等しいことを証明する。ここでtは任意の複素数時間である。この結果はt=0におけるオイラー＝ポアンカレの公式およびt→∞の極限におけるホッジ定理を一般化し、cos(tD)のようなユニタリ進化へも拡張され、離散幾何における深いつながりを示す。

ABSTRACT

For any finite simple graph G=(V,E), the discrete Dirac operator D=d+d* and the Laplace-Beltrami operator L=d d* + d* d on the exterior algebra bundle Omega are finite v times v matrices, where dim(Omega) = v is the sum of the cardinalities v(k) of the set G(k) of complete subgraphs K(k) of G. We prove the McKean-Singer formula chi(G) = str(exp(-t L)) which holds for any complex time t, where chi(G) = str(1)= sum (-1)k v(k) is the Euler characteristic of G. The super trace of the heat kernel interpolates so the Euler-Poincare formula for t=0 with the Hodge theorem in the real limit t going to infinity. More generally, for any continuous complex valued function f satisfying f(0)=0, one has the formula chi(G) = str(exp(f(D))). This includes for example the Schroedinger evolutions chi(G) = str(cos(t D)) on the graph. After stating some general facts about the spectrum of D which includes statements about the complexity, the product of the non-zero eigenvalues as well as a perturbation result estimating the spectral difference of two graphs, we mention as a combinatorial consequence that the spectrum of D encodes the number of closed paths in the simplex space of a graph. McKean-Singer implies that the number of closed paths of length n starting at an even dimensional simplex is the same than the number of closed paths of length n starting at an odd dimensional simplex. We give a couple of worked out examples and see that McKean-Singer allows to find explicit pairs of non-isometric graphs which have isospectral Dirac operators.

研究の動機と目的

• リーマン幾何におけるMcKean-Singer超対称性公式を有限単純グラフへ拡張すること。
• グラフのオイラー特性がそのラプラシアンの熱核のスーパitraceに埋め込まれていることを示すこと。
• 公式が任意の複素数時間tに対して成り立ち、cos(tD)のようなユニタリ進化へ一般化されることを示すこと。
• ディラック作用素のスペクトルが単体空間内の閉路といった組合せ的データを符号化していることを確立すること。
• ディラック作用素とグラフ上のラプラシアンを用いて、ホッジ理論とコhomologyの離散的類似を提供すること。

提案手法

• 有限単純グラフG上の外微分形式 bundle Ω に於いて、離散的ディラック作用素D = d + d* を定義する。
• p-形式に作用するラプラス＝ベルトラミ作用素L = D² = dd* + d*d を構成し、Lが対称的かつ有限次元であることを示す。
• McKean-Singer公式：すべての複素数tに対してχ(G) = str(e^{-tL}) を、スペクトル分解およびスーパitraceの性質を用いて証明する。
• Hodge分解Ω = im(d) ⊕ im(d*) ⊕ ker(L) を用いて、t=0におけるスーパitraceがオイラー特性に簡約されることを示す。
• f(0)=0 を満たす任意の連続複素関数fに対して、公式をf(D)へ一般化し、χ(G) = str(e^{f(D)}) を得る。
• ユニタリ進化（例：cos(tD) やシュレーディンガー型進化）に公式を適用し、それらがオイラー特性を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分幾何で知られているMcKean-Singer公式は、有限単純グラフへ拡張可能だろうか？
• RQ2 離散的設定において、熱核e^{-tL}のスーパitraceはオイラー特性χ(G)とどのように関係するか？
• RQ3 ディラック作用素Dは、グラフの位相的・幾何的不変量を符号化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 熱核を超えて、cos(tD)のようなDの関数へも公式を一般化できるか？
• RQ5 Dのスペクトルは、Gの単体空間内の閉路といった組合せ的構造とどのように関係するか？

主な発見

• すべての複素数tに対してMcKean-Singer公式χ(G) = str(e^{-tL}) が成り立ち、t=0におけるオイラー＝ポアンカレの公式とt→∞におけるホッジ定理を統合する。
• 熱核のスーパitraceは、オイラー特性と調和形式の次元の間を滑らかに補間し、離散的におけるホッジ＝ヴェイルの定理を裏付ける。
• f(0)=0 を満たす任意の連続複素関数fに対して、恒等式χ(G) = str(e^{f(D)}) が成り立つ。これは公式をユニタリ進化へ一般化する。
• シュレーディンガー型進化T(f(t), f(t-1)) = (Df(t) - f(t-1), f(t)) に対しても公式が適用可能であり、それらの力学的変化においても位相的不変性が保たれることを示す。
• ディラック作用素Dのスペクトルは、グラフの単体空間内における閉路の数を符号化しており、これは新しい組合せ的不変量である。
• 明示的な例により、非等長なグラフであっても、等スペクトルなディラック作用素を持つことが示され、この公式が等スペクトルグラフ構成において有効であることが明らかになった。