[論文レビュー] Littlewood--Paley--Stein Estimates for Non-local Dirichlet Forms

Huaiqian Li, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、測度付き距離空間上の非局所的ディリクレ形式に対して、垂直型リトルウッド＝パレー＝スタイン関数の$L^p$有界性を確立する。$1 < p \leq 2$では擬勾配を用い、$2 \leq p < \infty$ではバーグシュタイン＝ダヴィス＝ギュンディー不等式を用いることで、関連する平方関数の$L^p$有界性を証明し、対称的Lévy過程に限らない一般の非局所的生成子への結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We obtain the boundedness in $L^p$ spaces for all $1

研究の動機と目的

• 測度付き距離空間における非局所的ディリクレ形式に対する垂直型リトルウッド＝パレー＝スタイン関数の$L^p$有界性を確立すること。
• 非局所的作用素における合成関数の法則の欠如を補うために、$1 < p \leq 2$に対して擬勾配を導入すること。
• ユークリッド空間上での純粋なジャンプ型対称Lévy過程に限らない、一般の非局所的生成子に対する結果の拡張。
• 非局所的作用素の$L^p$有界性を示すために、解析的および確率的アプローチを統合すること。
• ジャンプ核にやや弱い構造的仮定を課した場合に、すべての$1 < p < \infty$に対して平方関数の$L^p$有界性が成り立つ条件を特定すること。

提案手法

• 関数値の局所的順序に基づく修正勾配$|\widetilde{\nabla}f|$を導入し、非局所性に対処するとともに、合成関数の法則の問題を回避する。
• $1 < p \leq 2$では、擬勾配とモスコ収束を用いて、有限ジャンプ核の場合の有界性を一般の非局所的形に拡張する。
• $2 \leq p < \infty$では、半群に付随するマルティンゲールの二次変動を制御するために、確率的バーグシュタイン＝ダヴィス＝ギュンディー不等式を適用する。
• キャレ・デュ・シャン作用素$\Gamma(f)$を用いて、点ごとの勾配のモジュラス$|\nabla f|(x) = \sqrt{\Gamma(f)(x)}$を定義する。
• 非局所的生成子$L$によって生成される半群$(P_t)$を用い、$|\nabla P_t f|^2$の時間積分により平方関数$\mathscr{H}_{\nabla}f$を定義する。
• ジェンセンの不等式と半群の収縮性を用いて、平方関数の$L^p$ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リトルウッド＝パレー＝スタイン推定は、対称的Lévy過程に限らない非局所的ディリクレ形式に対しても拡張可能か？
• RQ2 非局所的作用素の$L^p$有効性を示す際、合成関数の法則が存在しない場合に、どのようにしてその欠如を補うか？
• RQ3 非局所的作用素の研究において、解析的および確率的アプローチを統合するための技術は何か？
• RQ4 ジャンプ核にどのような条件下で、垂直型平方関数の$L^p$有効性が成り立つか？
• RQ5 モスコ収束法は、有限ジャンプ核の場合から一般の非局所的形への拡張に有効であるか？

主な発見

• すべての$1 < p < \infty$に対して、垂直型リトルウッド＝パレー＝スタイン関数$\mathscr{H}_{\nabla}f$は$L^p(M,\mu)$で有界であり、$\|\mathscr{H}_{\nabla}f\|_p \leq C_p \|f\|_p$が成り立つ。
• $1 < p \leq 2$では、擬勾配の構成により、合成関数の法則の欠如にもかかわらず$L^p$有界性の証明が可能である。
• $2 \leq p < \infty$では、バーグシュタイン＝ダヴィス＝ギュンディー不等式が鋭い確率的推定を提供し、望ましい$L^p$有界性を導く。
• モスコ収束技術は、有限ジャンプ核の場合から一般の非局所的ディリクレ形式への結果の拡張に成功した。
• この手法は、測度付き距離空間上での純粋なジャンプ型の正則な非局所的ディリクレ形式に、やや弱い仮定のもとで適用可能である。
• 本結果は、$\mathbb{R}^d$における対称的Lévy過程に対する既知の推定を、より広い非局所的生成子のクラスに一般化する。