[論文レビュー] Local and global information and equations with left and right invertible operators in the free Fock space

Jerzy Hańćkowiak|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自由フォック空間内の生成ベクトル |V⟩ を用いて、複雑系における無限大のn点情報（n-pi）を表現するフレームワークを提案する。左および右可逆な演算子、特にクンツ関係を満たす生成・消滅演算子を用いる。n-piの式は、演算子値関数を介してコンパクトに表現可能であり、左可逆性により体系的な摂動的近似が可能となり、微分を用いない片側可逆な演算子を用いたマクロスケールの微積分の再定式化が可能となり、ミクロスケールの力学とマクロスケールの観測量の間の新しい橋渡しを提供する。

ABSTRACT

The subject of the work is short description of huge amount of n-point information (n-pi) about the system. Methods for solving equations that satisfy such information are considered. Possible interpretation of left and right invertible operators appearing in these equations is also proposed. For local information, the creation and annihilation operators satisfying the Cuntz relations are introduced. It is also introduced the vector describing the local vacuum which completes the equation for n-pi with a global information. An important components of the work are examples of local operator-valued functions.

研究の動機と目的

• 複雑系における無限大のn点情報（n-pi）を、自由フォック空間内の生成ベクトル |V⟩ を用いて、コンパクトかつ統一的に表現すること。
• 膨大で局所的でないデータを持つ系を記述する挑戦に応えるために、クンツ関係を満たす生成・消滅演算子に基づく形式的枠組みを導入すること。
• 従来の微分を用いない片側可逆な演算子を用いてマクロスケールの式を再定式化し、情報理論的記述において無限小の微積分を必要としないようにすること。
• 演算子値関数における左および右可逆性の役割が、物理的および抽象的系の相互作用と閉じた構造のモデル化にどのように寄与するかを明らかにすること。
• ニュートン＝ライプニッツの微積分を用いたミクロスケールの力学と、平均化された量としてのマクロスケールの観測量とを、自由フォック空間における非可換かつ情報に基づく形式的枠組みで結びつけること。

提案手法

• 生成ベクトル |V⟩ は、n-piで重み付けられたn点相関ベクトル |~x(n)⟩ の重ね合わせとして定義され、真空成分 |0⟩ を含む。
• 局所的情報の操作とフォック空間内でのn-pi成分の生成に、クンツ関係を満たす生成・消滅演算子が導入される。
• 左可逆な演算子値関数、例えば (I - λ₂η(~x))⁻¹ が、結合定数 λ₂ における相互作用のモデル化と摂動展開の実現に用いられる。
• マクロスケールでは、従来の微分と積分を、η(~x) および η†(~x) という片側可逆な演算子に置き換え、関数的微分の形式的類似物として機能させる。
• 摂動原理を適用して、演算子値関数の左逆数を用いて逐次的近似を構成し、解のコンパクトな表現を得る。
• 形式的枠組みでは、演算子値関数を文脈や条件（49）に応じて左可逆または右可逆とみなすことで、方程式の閉じる性質と正則化が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間の枠組み内で、無限大のn点相関関数の集合をどのようにコンパクトに表現・操作できるか？
• RQ2 左および右可逆な演算子がn-piの式の定式化に果たす役割は何か？また、これらはどのように摂動的解法を可能にするか？
• RQ3 片側可逆な演算子を用いることで、従来の微積分（微分と積分）はどのように置き換えられたり再解釈されたりするか？
• RQ4 演算子値関数 (I - λ₂η(~x))⁻¹ の使用が、系内での非線形相互作用のモデル化にどのように寄与するか？
• RQ5 自由フォック空間が、情報に基づく物理理論におけるミクロスケールの力学とマクロスケールの観測量を統合する上で果たす意義は何か？

主な発見

• 生成ベクトル |V⟩ は、自由フォック空間内の単一の状態として、すべてのn点情報（n-pi）を効果的に符号化でき、複雑系のデータを統一的に表現可能である。
• 左可逆な演算子値関数、例えば (I - λ₂η(~x))⁻¹ は、結合定数 λ₂ における摂動的解法を体系的に導出可能であり、逐次的近似のコンパクトな表現を可能にする。
• 形式的枠組みでは、関数的微分を片側可逆な演算子 η(~x) および η†(~x) に置き換え、無限小の微積分をマクロスケールで必要としないが、微分に類似した機能を果たす。
• 生成・消滅演算子にクンツ関係を適用することで、フォック空間内でのn-pi成分の整合的で直交基底構造が保証される。
• 条件（49）により、同じ演算子値関数の左可逆および右可逆な取り扱いが等価な結果をもたらすことが保証され、形式的枠組みの堅牢性が得られる。
• このフレームワークにより、ニュートン＝ライプニッツの微積分を用いたミクロスケールの力学と、平均化された量としてのマクロスケールの観測量との自然な接続が可能となり、量子・古典の統一への応用可能性が示唆される。