[論文レビュー] Local and global moves on locally planar trivalent graphs, lambda calculus and $\lambda$-Scale

Marius Buliga|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所的に平面的で三価のグラフの形式的体系を用いて、無型付きラムダ計算とλ-Scale計算が完全に符号可能であることを示している。驚くべきことに、ラムダ計算におけるβ簡約規則が、これらのグラフ上の局所的な「縫い合わせ」変換として現れ、微小な正則性の欠如する空間、例えば出現的代数や拡張作用素を伴う距離空間における微分計算の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

We give a description of local and global moves on a class of locally planar trivalent graphs and we show that it contains $\lambda$-Scale calculus, therefore in particular untyped lambda calculus. Surprisingly, the beta reduction rule comes from a local "sewing" transformation of trivalent locally planar graphs.

研究の動機と目的

• 局所的に平面的で三価のグラフを用いて、ラムダ計算とλ-Scale計算の幾何的枠組みを確立すること。
• ラムダ計算におけるβ簡約規則が、これらのグラフ上の局所的な位相的変換から自然に生じることを示すこと。
• 出現的代数における計算と、正則性が低い空間における微分計算を、グラフに基づく形式的体系によって統一すること。
• 装飾されたトゥーリング図の操作として計算をモデル化することにより、「空間による計算」の厳密な幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 論文は、λ, Υ, ⋏, ⊤, および可換群Γの要素であるεゲートを含むグラフィカルなアルファベットから、ノードに装飾を施し、局所的な平面性を保つために巡回的エッジ順序を備えたグラフの集合GRAPHを構築する。
• 局所的変換として、(β), (ext1), (ext2), (R1), (R2), (CO-ASSOC), および剪定が定義され、サイズが有界な部分グラフに作用する。
• 変数の置換と構造的同値性の取り扱いのために、(global FAN-OUT) を含むグローバルな変換が導入される。
• λ-Scale項のグラフへの変換は、(ext1) および (β*) 変換によって変数を除去することで達成され、項はλ, ⋏, および ¯ε ゲートのみを含む表現に還元される。
• 論文は、(CO-ASSOC) 変換におけるグラフの同値性が、λ-Scale計算におけるα変換および構造的同値性に対応することを証明する。
• さらに、ラムダ計算における標準的なβ簡約が、グラフ表現上で単一のグラフィックな(β) 変換に対応し、その後に (global FAN-OUT), (CO-ASSOC), および剪定変換が続くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無型付きラムダ計算は、局所的に平面的で三価のグラフ上の局所的変換系として完全に表現可能か？
• RQ2 ラムダ計算におけるβ簡約規則は、このようなグラフ上の幾何的変換としてどのように生じるか？
• RQ3 (β) 変換は、グラフ変換とラムダ計算の計算的意味論を結ぶ役割を果たすか？
• RQ4 出現的代数とラムダ計算を統合するλ-Scale計算の形式的体系は、このグラフベースの形式的体系に完全に符号可能か？
• RQ5 ねじれの交差とリーディスターマー移動は、この枠組みにおける拡張作用素の代数的構造とどのように関係するか？

主な発見

• ラムダ計算におけるβ簡約規則は、局所的に平面的で三価のグラフ上での局所的「縫い合わせ」変換として幾何的に実現され、(β) 変換が基本的な計算ステップとして機能する。
• λ, ⋏, および ¯ε 操作のみを用いて書かれた任意のλ-Scale項は、GRAPH内にグラフに変換可能であり、すべてのこのようなグラフは有限回の(CO-ASSOC) 変換の列によって同値である。
• λ-Scale計算におけるα変換は、対応するグラフ上で有限回の(CO-ASSOC) 変換の列に対応し、構造的不変性が保証される。
• A[x := B] による変数の項への置換は、[(xλA)B] のグラフ上で単一の(β) 変換が行われた後、(global FAN-OUT), (CO-ASSOC), および剪定変換が続くことで実現される。
• この形式的体系はεゲートによるバイト的交差をサポートし、これらの交差は出現的代数における左分配法則に対応する新しい移動を除き、リーディスターマーII移動を満たす。
• 構文的木からグラフへの変換は同値性を保存し、必要な(CO-ASSOC) 変換の回数は構文的木のリーフ数に関して指数関数的に上限を持つ。