[論文レビュー] On the arithmetic of graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、弱、直接、強積の3つの環構造を用いて有限単純グラフの算術を導入し、分析する。強積環がスターリング＝ライスナーのカルテシアン環とホモトピー同値であることを示し、クーンフェルトの公式を適用可能にし、オイラー乗数とクリーク数が環準同型であることを確認する。さらに、接続ラプラシアンが強積においてテンソル積をとることを示し、スペクトル的およびコhomologicalな整合性を保つ。

ABSTRACT

The Zykov ring of signed finite simple graphs with topological join as addition and compatible multiplication is an integral domain but not a unique factorization domain. We know that because by taking graph complements, it becomes isomorphic to the strong Sabidussi ring with disjoint union as addition. We prove that the Euler characteristic is a ring homomorphism from the strong ring to the integers by demonstrating that the strong ring is homotopic to a Stanley-Reisner Cartesian ring. More generally, the Kuenneth formula holds on the strong ring so that the Poincare polynomial is compatible with the ring structure. The Zykov ring has the clique number as a ring homomorphism. Furthermore, the Cartesian ring has the property that the functor which attaches to a graph the spectrum of its connection Laplacian is multiplicative. The reason is that the connection Laplacians do tensor under multiplication, similarly to what the adjacency matrix does for the weak ring. The strong ring product of two graphs contains both the weak and direct product graphs as subgraphs. The Zykov, Sabidussi or Stanley-Reisner rings are so manifestations of a network arithmetic which has remarkable cohomological properties, dimension and spectral compatibility but where arithmetic questions like the complexity of detecting primes or factoring are not yet studied well. We illustrate the Zykov arithmetic with examples, especially from the subring generated by point graphs which contains spheres, stars or complete bipartite graphs. While things are formulated in the language of graph theory, all constructions generalize to the larger category of finite abstract simplicial complexes.

研究の動機と目的

• 弱、直接、強積の3つの異なる環構造を用いて、グラフ算術の厳密な代数的枠組みを確立すること。
• 強積環がスターリング＝ライスナーのカルテシアン環とホモトピー同値であることを示し、コhomologicalおよびスペクトル的整合性を可能にすること。
• オイラー乗数とクリーク数が、強積環およびZykov環から整数への環準同型であることを証明すること。
• 2つのグラフの強積の接続ラプラシアンが、それらの個々の接続ラプラシアンのテンソル積に一致することを示すこと。
• 特にエネルギー定理とポincare多項式に関連して、グラフ積のスペクトル的およびコhomological性質を調査すること。

提案手法

• 符号付き有限単純グラフの圏に、弱（カルテシアン）、直接（テンソル）、強（統合）積の3つの可換環構造を定義し、直和を加法とする。
• グロテンディーク群の構成を用いて、直和に関するグラフのモノイドを群に拡張し、形式的減法と環構造を可能にする。
• グラフの補集合作用を用いてZykov環を強積環に双対化し、両者の間の同型を確立する。
• 強積がスターリング＝ライスナー積とホモトピー同値であることを示し、代数的トポロジーの道具を適用可能にする。
• クーンフェルトの公式を用いて、ポincare多項式が強積において乗法的であることを示し、環の整合性を確認する。
• Mathematicaを用いた計算コードを用いて、強積の接続ラプラシアンが個々の接続ラプラシアンのテンソル積に一致すること、およびエネルギーがオイラー乗数に一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの強積環は、スターリング＝ライスナー環のような既知の代数的構造と同型であるか？
• RQ2 オイラー乗数はグラフの強積において環準同型として機能するか？
• RQ3 クリーク数をZykov環から整数への環準同型に拡張できるか？
• RQ4 接続ラプラシアンのスペクトルはグラフの強積においてどのように振る舞うか？
• RQ5 接続ラプラシアンの逆行列の成分の和として定義されるエネルギーは、強積において乗法的か？

主な発見

• グラフの強積環はホモトピー同値の下でスターリング＝ライスナー環と同型であり、ポincare多項式に対してクーンフェルトの公式が成立することが確認された。
• オイラー乗数は強積環から整数への環準同型であり、χ(G × H) = χ(G)χ(H) および χ(G + H) = χ(G) + χ(H) を満たす。
• クリーク数（dim(G) + 1として定義）はZykov環からℤへの環準同型であり、乗法的構造を保存する。
• 2つのグラフの強積の接続ラプラシアンは、それらの個々の接続ラプラシアンのテンソル積に一致し、スペクトル的整合性が確認された。
• 強積の接続ラプラシアンのスペクトルは σ(L(G × H)) = σ(L(G)) × σ(L(H)) を満たし、エネルギー（逆行列成分の和）はオイラー乗数の積に一致する。
• 強積は弱積および直接積を部分グラフとして含み、環構造はホモトピー、コhomology、スペクトル理論と整合する。