[論文レビュー] Local controllability of 1D Schrödinger equations with bilinear control and minimal time

Karine Beauchard, Morgan Morancey|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双線形制御を伴う1次元シュレーディンガー方程式の局所的可制御性に関する一般枠組みを確立し、制御可能であるのは時間がある正の最小閾値を超えた場合に限ることを証明している。最小時間は、解のべき級数展開における2次項に起因し、著者らは任意の小さな時間において可制御性が成立しないようなダイポールモーメント $\mu$ に関する条件を同定した。これは、退化系における最小時間要件に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded interval, with bilinear control. Beauchard and Laurent proved that, under an appropriate non degeneracy assumption, this system is controllable, locally around the ground state, in arbitrary time. Coron proved that a positive minimal time is required for this controllability, on a particular degenerate example. In this article, we propose a general context for the local controllability to hold in large time, but not in small time. The existence of a positive minimal time is closely related to the behaviour of the second order term, in the power series expansion of the solution.

研究の動機と目的

• 双線形制御を伴う1次元シュレーディンガー方程式の局所的可制御性が、任意の小さな時間においても成立しないような、ダイポールモーメント $\mu$ に関する一般条件を同定すること。
• 以前の退化系に関する結果を拡張し、局所的可制御性に正の最小時間が必要となることの特徴づけを行うこと。
• 最小時間要件が、解のべき級数展開における2次項の挙動とどのように関連するかを特定すること。
• スペクトル的性質および $\mu$ の正則性に基づき、長時間では可制御性が成立するが短時間では成立しないような枠組みを提供すること。

提案手法

• シュレーディンガー方程式の解のべき級数展開を分析し、特に2次項に注目することで最小時間制約を同定する。
• 非退化性仮定の下で、線形テストおよび逆写像定理を用いて、長時間における可制御性を確立する。
• インガムの不等式およびコンパクト性の議論を用いて、2次項が消えると、制御がゼロでなければ矛盾が生じることを示す。
• モーメント問題およびスペクトル解析を用いて、最小時間閾値がシステムのダイナミクスに関連する作用素 $K$ の構造に起因することを証明する。
• 可制御性を定量化するための汎関数 $\mathcal{Q}_T(S)$ を導入し、変分法を用いて制御関数上でのその上界を分析する。
• 作用素 $L_T$ を用いて制御を固有関数の張る空間に射影し、$L^2$ ノルムの推定および摂動の境界を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダイポールモーメント $\mu$ がどのような条件下で、双線形制御を伴う1次元シュレーディンガー方程式が任意の小さな時間において局所的可制御性を失うのか。
• RQ2 可制御性の最小時間は、解のべき級数展開における2次項の挙動とどのように関連しているか。
• RQ3 正の最小時間が必要な系と任意時間で可制御性が成立する系を区別できる一般枠組みを確立できるか。
• RQ4 境界における $\mu$ のスペクトル的挙動が、可制御性の最小時間に与える影響は何か。
• RQ5 $\langle \mu \varphi_1, \varphi_k \rangle$ の正則性および減衰性が最小時間の存在に与える影響は何か。

主な発見

• 解のべき級数展開における2次項が消えない場合、一般に特定の $\mu$ に対して正の最小時間が必要となる。
• 最小時間閾値は、与えられた仮定の下で $T$ が小さいとき、$\mathcal{Q}_T(S)$ の非ゼロ性に起因し、これが負であることが示された。
• $T < \tilde{T}_{\text{min}}^1$ の場合、汎関数 $\mathcal{Q}_T(S)$ は負の定数によって一様に上から押さえられ、短時間における可制御性の不成立を示唆する。
• $\lambda(T) = 0$ を仮定すると、繰り返し微分およびコンパクト性の議論により矛盾が生じ、制御がゼロでなければならないことが示された。
• 最小時間閾値は、特に $k \to \infty$ のときの $|\langle \mu \varphi_1, \varphi_k \rangle|$ の減衰率に依存する $\mu$ のスペクトル的性質に依存する。
• 本フレームワークは、$\mu(x) = x - 1/2$ を用いたコロンの例など、先行研究を一般化し、最小時間の存在に関する統一的条件を提供する。