[論文レビュー] On the optimal controllability time for linear hyperbolic systems with time-dependent coefficients

Jean‐Michel Coron, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元の時間に依存する零次係数を有する線形双曲型系の最適可制御時間について考察する。滑らか（C∞）な時間依存係数ですら、時間不変の場合と比較して、ゼロ可制御性に必要な最小時間の増加を引き起こす可能性があるが、係数が時間に関して解析的である場合には、最適時間は古典的な時間不変値に戻ることを示している。これは滑らかさと解析的性の間で顕著な対比を示している。

ABSTRACT

The optimal time for the controllability of linear hyperbolic systems in one dimensional space with one-side controls has been obtained recently for time-independent coefficients in our previous works. In this paper, we consider linear hyperbolic systems with time-varying zero-order terms. We show the possibility that the optimal time for the null-controllability becomes significantly larger than the one of the time-invariant setting even when the zero-order term is indefinitely differentiable. When the analyticity with respect to time is imposed for the zero-order term, we also establish that the optimal time is the same as in the time-independent setting.

研究の動機と目的

• 時間に依存する零次係数が1次元双曲型系の最適可制御時間に与える影響を特定すること。
• 滑らか（C∞）な時間依存係数が、時間不変の場合と比較して、より大きな最適可制御時間を引き起こすかどうかを調査すること。
• 係数が時間に関して解析的である場合に、時間依存性が存在しても最適時間が変化しない条件を確立すること。
• 解析的性が時間依存ダイナミクス下でも可制御性の性質を保つ役割を明確にすること。
• 時間不変系に対する既知の可制御性結果を、時間依存設定に拡張し、最小制御時間の正確な特徴付けを行うこと。

提案手法

• 双曲型系を前向きおよび後ろ向きに伝播する波に分離するためにリーマン座標を用いる。
• 特徴線法とエネルギー推定を用いて、解の伝播および時間依存零次項の影響を分析する。
• 解のL²空間における適切な定義と時間的・空間的連続性を確立し、解の正則性を保証する。
• 解析的設定では、一意的拡張原理を用いて、最小時間でゼロに駆動可能な状態を特徴付ける。
• 主要な技術的道具として、双対問題の構築とカルレマン推定を用いて、時間T_optにおける可制御性を証明する。
• 解の時間依存摂動に対する挙動を分析することで、滑らかさと解析的性の間の差を明確に分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零次係数が時間に依存する滑らかな関数であっても、特徴速度に影響を与えないにもかかわらず、最適可制御時間が時間不変の場合を上回る可能性はあるか？
• RQ2 滑らかな時間依存係数を有する双曲型系のゼロ可制御性を達成するための最小時間は何か？
• RQ3 零次係数が時間に関して解析的である場合、時間不変系で観察される古典的最適可制御時間が回復するか？
• RQ4 特に前向き波と後ろ向き波の間の結合構造が、可制御性時間にどのように影響するか？
• RQ5 線形双曲型系の可制御性特性が、時間依存係数の正則性（滑らか対解析的）にどの程度依存するか？

主な発見

• 滑らかな時間依存係数を有する双曲型系の最適可制御時間は、時間不変の最適時間よりも厳密に大きくなる可能性がある。これは、係数が時間に関してC∞であっても同様に成り立つ。
• この最適時間の増加は、零次項が系の特徴速度に影響を与えないにもかかわらず発生する。
• 零次係数が時間に関して解析的である場合、最適可制御時間は古典的値T_opt = τ_k + τ_{k+1}に回帰し、時間不変の場合と一致する。
• この結果は、滑らかさと解析的性の間で、双曲型可制御性の文脈において根本的な違いを示している。
• 解析的性が最小可制御時間の維持に十分条件であることが確認され、線形制御系における既知の性質が拡張された。
• 本稿は、解析的設定下でT_optにおけるゼロ可制御性が可能であることを確立し、時間不変の場合と同様の条件下で正確可制御性が成立することを示している。