[論文レビュー] Local coordinates for SL(n,C) character varieties of finite volume hyperbolic 3-manifolds

Pere Menal-Ferrer, Joan Porti|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、SL(2,C) の n 次正則表現を用いたホロノミーの上昇と合成することで、有限体積な双曲的 3 次元多様体の SL(n,C)-特徴写像多様体に対して明示的な局所座標を構成する。この表現の特徴が、境界部の単積表現のなかで孤立していることを証明し、周辺的要素上のトレースの対称多項式を用いて局所正則微分同相写像を確立する。これは n=2 の場合の Kapovich の結果を一般化する。

ABSTRACT

Given a finite volume hyperbolic 3-manifold, we compose a lift of the holonomy in SL(2,C) with the n-dimensional irreducible representation of SL(2,C) in SL(n,C). In this paper we give local coordinates of the SL(n,C)-character variety around this representation. As a corollary, this representation is isolated among all representations that are unipotent at the cusps.

研究の動機と目的

• ホロノミーの上昇と SL(2,C) の n 次正則表現の合成によって得られる表現の周囲における、SL(n,C)-特徴写像多様体の明示的局所座標を提供すること。
• この表現の特徴が、境界部の部分群で単積であるすべての表現の中で孤立していることを証明すること。
• n=2 の場合の Kapovich の結果を任意の n ≥ 2 に一般化し、周辺的要素上のトレース関数が局所座標系をなすことを示すこと。

提案手法

• C² の (n−1) 回目の対称冪として実現される、n 次正則表現 ςₙ: SL(2,C) → SL(n,C) を用いる。
• Lie 環の作用と表現 ςₙ を用いて、カスプ上での明示的無限小変形 1 形式を構成する。
• 表現の変形空間の接空間を記述する、カスプ上に定義された微分形式 ωᵢ を定義する。
• ρ(γ) の i 番目の初等対称関数のトレースである σᵢ^γ の、これらの変形形式に関する微分を計算する。
• ςₙ(𝑓) と ςₙ(𝑔) から得られる冪零行列上のトレース計算を用いて、σᵢ^γ と ωᵢ の微分行列がフルランクであることを証明する。
• 正則的陰関数定理を適用し、写像 (σ₁^{γ₁}, ..., σ_{n−1}^{γₗ}) が χₙ の近傍で局所正則微分同相写像であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体積な双曲的 3 次元多様体の SL(n,C)-特徴写像多様体の周囲に、ホロノミーから得られる n 次表現の明示的局所座標を構成できるか？
• RQ2 特徴 χₙ は、境界部分群で単積であるすべての表現の中で孤立しているか？
• RQ3 n > 2 の場合に、周辺的要素 γ₁, ..., γₗ における対称多項式 σᵢ^γ は、χₙ の近傍で局所座標系をなすか？
• RQ4 無限小変形は、ホロノミーの上昇の n 次表現下でどのように振る舞い、特徴写像多様体において何の役割を果たすか？
• RQ5 χₙ における特徴写像多様体の接空間の構造は何か？ そして周辺的トレースとどのように関係しているか？

主な発見

• 特徴写像多様体から C^{l(n−1)} への写像 (σ₁^{γ₁}, ..., σ_{n−1}^{γₗ}) は、χₙ の近傍で局所正則微分同相写像であり、明示的な局所座標を与える。
• 特徴 χₙ は、境界部分群で単積であるすべての表現の中で孤立しており、特徴写像多様体における剛性を確認する。
• 周辺的要素 γ₁, ..., γₗ における対称多項式 σᵢ^γ は、χₙ の近傍で局所座標系をなす。写像のヤコビ行列はフルランクを示す。
• 無限小変形は、表現 ςₙ と Lie 環の作用を用いて構成された明示的な微分 1 形式 ωᵢ で記述される。
• σᵢ^γ の導関数を符号化する多項式 Qᵢ^γ(λ) は線形独立であり、λ で割り切れる次数 ≤ n−1 の多項式の空間を張る。これにより座標の独立性が保証される。
• n=2 の場合、結果は Kapovich の定理を回復する：変形空間 X(M,SL(2,C)) は、周辺的要素のトレースによって局所的にパラメトライズ可能である。