[論文レビュー] Local correlations in dual-unitary kicked chains

Boris Gutkin, P. A. Braun+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2020

Quantum many-body systems参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素ヒルベルト行列から構築される、広範な双対ユニタリキックチェーン（DuKC）のクラスを導入し、長鎖において厳密に局所的でトレースのない演算子が相関を有しないことを示した。特に、双対ユニタリ性に近い領域における局所的相関を正確に評価可能な、双フーリエ変換可能チェーン（DFTC）と呼ばれる特殊な部分クラスについて、2点相関関数の閉形式解析的表現を導出した。この結果は、キックドイジングチェーンの例においても図示されている。

ABSTRACT

We show that for dual-unitary kicked chains, built upon a pair of complex Hadamard matrices, correlators of strictly local, traceless operators vanish identically for sufficiently long chains. On the other hand, operators supported at pairs of adjacent chain sites, generically, exhibit nontrivial correlations along the light cone edges. In agreement with Bertini et. al. [Phys. Rev. Lett. 123, 210601 (2019)], they can be expressed through the expectation values of a transfer matrix $T$. Furthermore, we identify a remarkable family of dual-unitary models where an explicit information on the spectrum of $T$ is available. For this class of models we provide a closed analytical formula for the corresponding two-point correlators. This result, in turn, allows an evaluation of local correlators in the vicinity of the dual-unitary regime which is exemplified on the kicked Ising spin chain.

研究の動機と目的

• 複素ヒルベルト行列を用いた双対ユニタリキックチェーン（DuKC）の一般的枠組みを構築し、量子相関の正確な解析を可能にする。
• DuKCにおける局所的演算子相関の振る舞いを、特に熱力学的極限および双対ユニタリ近傍で調査する。
• 双フーリエ変換可能チェーン（DFTC）と呼ばれるDuKCの部分クラスを同定し、その転送行列スペクトルが解析的に得られることを示す。
• DFTCモデルにおける隣接サイトに作用する演算子の2点相関関数に対して、閉形式の式を導出する。
• 空間的・時間的不規則性を有する非一様系へと結果を拡張し、相関の減衰指数が局所的パラメータの平均化によってどのように変化するかを示す。

提案手法

• 2つの$L \times L$複素ヒルベルト行列からDuKCを構築し、位相関数$f_1$および$f_2$を用いて局所的ユニタリゲートと相互作用項を定義する。
• Floquet進化演算子$U = U_I U_K$を用い、$U_I$を積状態基底で対角化し、$U_K$を局所的ユニタリのテンソル積として定義する。
• 転送行列$\mathbf{T}$を含む積のトレースを用いて2点相関関数を表現し、その次元は$L^2$であり、鎖長$N$とは独立である。
• DFTC部分クラスにおいて、共通のユニタリ変換を用いて転送行列$\mathbf{T}$を対角化し、正確なスペクトル解析を可能にする。
• 転送行列$\mathbf{T}$の固有値を用いて、2つの隣接サイトに作用する演算子の相関関数に対する解析的公式を導出する。
• キックドイジングチェーンにこの形式を適用し、双対ユニタリ近傍における局所的相関を摂動補正を用いて評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長鎖における双対ユニタリキックチェーン（DuKC）の厳密に局所的でトレースのない演算子は、相関が恒等的に消えるか？
• RQ2 DuKCにおける有限サポートを持つ演算子の2点相関関数は、低次元の転送行列スペクトルによって表現可能か？
• RQ3 転送行列スペクトルが解析的に既知であり、相関関数の閉形式表現が得られるDuKCの部分クラスは存在するか？
• RQ4 特にキックドイジングモデルのような系において、双対ユニタリ近傍における局所的相関はどのように振る舞うか？
• RQ5 空間的・時間的不規則性がDuKCにおける相関の減衰に与える影響は何か？また、転送行列形式はどのように修正されるか？

主な発見

• 十分に長いDuKC鎖において、厳密に局所的でトレースのない演算子の相関関数は、双対ユニタリ構造のおかげで恒等的に消える。
• 隣接サイトに作用する演算子の2点相関関数は一般に非ゼロであり、転送行列$\mathbf{T}$の期待値によって表現可能である。
• DFTC部分クラスにおいて、転送行列$\mathbf{T}$は1つのユニタリ変換によって対角化可能であり、正確なスペクトル解析が可能である。
• DFTCクラスにおいて、隣接サイトに作用する演算子の2点相関関数に対して、$\mathbf{T}$の固有値に明示的に依存する閉形式の公式が導出された。
• 双対ユニタリ近傍におけるキックドイジングチェーンでは、局所的相関関数が$C(n,T) \sim \delta(n,T) \prod_{i=1}^{n-2} \cos 2h_i$の形で減衰し、$h_i$は局所的磁場を表す。
• 空間的・時間的不規則性が存在する場合、相関関数の減衰指数は局所的指数の平均値として与えられ、$\mathbf{T}^{n-2}$は局所的ゲート演算子の積に置き換えられる。