[論文レビュー] Local dimensions of measures on self-affine sets

K. J. Falconer, Jun Jie Miao|arXiv (Cornell University)|May 12, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般の条件下で、自己同型的およびほぼ自己同型的測度が、局所次元がほとんど everywhere に情報次元に等しい正確次元的であることを確立する。局所次元は、上位加法的圧力関数のゼロとして示され、上界は $L^q$-次元を $q \nearrow 1$ に近づける極限を用いて、下界は積分推定を用いて導出され、符号的空間上のギブズ測度へと拡張される。

ABSTRACT

We show that, in a generic setting, self-affine and almost self-affine measures are exact dimensional, with local dimension equal almost everywhere to the information dimension and given by the zero of a superadditive pressure functional.

研究の動機と目的

• 自己同型的およびほぼ自己同型的測度の局所次元を、一般の設定で特定すること。
• これらの測度が正確次元的であることを確立すること、すなわち局所次元がほとんど everywhere で一定であること。
• 局所次元を上位加法的圧力関数のゼロとして同定し、それを情報次元と同一視すること。
• 結果を符号的空間上のギブズ測度へと拡張し、自己同型的集合へのその射影測度を分析すること。
• $L^q$-次元と積分推定を用いて、局所次元の決定的上界および下界を提供すること。

提案手法

• 上位加法的圧力関数 $P(s,q)$ を用いて臨界指数 $d_q$ を定義し、 $d_1$ が局所次元であることを示す。
• $q \nearrow 1$ に近づける $L^q$-次元の極限を用いて、局所次元の上界を導出する。これは $P(s,q)$ が $q=1$ で下半連続であることを利用している。
• 定理 5.3 の積分推定を用いて、局所次元の下界をほとんど確実に確立する。
• シリンダー測度の劣乗法的および上乗法的性質と、部分加法的エルゴード定理を用いて、ギブズ測度への結果の拡張を行う。
• 変分原理とホルダー連続性を用いて、圧力関数の存在性と正則性を保証する。
• 符号的空間 $I_\infty$ からの測度の射影を $x^\omega(\mathbf{i})$ を用いて定義し、 $\mu^\omega$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型的測度の局所次元が $\mu^\omega$-ほとんど everywhere で一定であるのはどのような条件下か？
• RQ2 一般の自己同型的測度の局所次元の正確な値は何か、そして情報次元とどのように関係しているか？
• RQ3 局所次元は上位加法的圧力関数のゼロとして特徴付けられるか？
• RQ4 結果は符号的空間上のギブズ測度およびその自己同型的集合への射影へとどのように拡張されるか？
• RQ5 局所次元がほとんど確実に $\min\{d_1, N\}$ に等しくなるのはどのような条件下か？

主な発見

• ${\mathcal L}^{mN}$-ほとんどすべての $\omega$ に対して、自己同型的測度 $\mu^\omega$ は正確次元的であり、局所次元は上位加法的圧力関数 $P(s,1)$ のゼロである $d_1$ に等しい。
• 一般の $\omega$ に対して、局所次元 $d_1$ はほとんど確実に情報次元 $D^1(\mu^\omega)$ に等しい。
• 局所次元の上界は、 $q \nearrow 1$ に近づける $L^q$-次元の極限を用いて導出され、 $q=1$ における $P(s,q)$ の下半連続性を利用している。
• 下界は積分推定（定理 5.3）を用いて確立され、 $\liminf_{r\to 0} \frac{\log \mu^\omega(B(x,r))}{\log r} \geq d_1$ がほとんど確実に成り立つことを示している。
• ギブズ測度に対しては、局所次元が $\min\{d_1, N\} \leq \lim_{r\to 0} \frac{\log \mu^\omega(B(x,r))}{\log r} \leq \min\{\lim_{q\nearrow 1} d_q, N\}$ almost surely に成り立つ。
• 結果はほぼ自己同型的集合へと拡張され、この場合、局所次元はほとんど確実に $\min\{d_0, N\}$ に等しくなる。ここで $d_0$ はアフィニティ次元である。