[論文レビュー] Local entropy theory for a countable discrete amenable group action

Wen Huang, Xiangdong Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可算離散アーベル群作用におけるトポロジカルエントロピーの局所的変分原理を確立し、有限ボレル被覆に対する2つの測度論的エントロピー定義の同値性を証明するとともに、トポロジカルエントロピーと測度論的エントロピーのタプルの間の変分関係を導出する。この研究は、ℤ作用における局所的エントロピー理論をアーベル群作用へ拡張し、一様正のエントロピー（u.p.e.）および完全に正のエントロピー（c.p.e.）が有限積に関して保存されることを示し、可換群上の最小トポロジカルKシステムが強く混合的であることを示している。

ABSTRACT

In the paper we throw the first light on studying systematically the local entropy theory for a countable discrete amenable group action. For such an action, we introduce entropy tuples in both topological and measure-theoretic settings and build the variational relation between these two kinds of entropy tuples by establishing a local variational principle for a given finite open cover. Moreover, based the idea of topological entropy pairs, we introduce and study two special classes of such an action: uniformly positive entropy and completely positive entropy. Note that in the building of the local variational principle, following Romagnoli's ideas two kinds of measure-theoretic entropy are introduced for finite Borel covers. These two kinds of entropy turn out to be the same, where Danilenko's orbital approach becomes an inevitable tool.

研究の動機と目的

• 可算離散アーベル群作用における局所的エントロピー理論—これまでℤ作用に限って発展させてきたもの—を、可算離散アーベル群作用へ拡張すること。
• アーベル群作用における有限開被覆に対する局所的変分原理を確立すること。
• 有限ボレル被覆に対する2つの測度論的エントロピー定義の同値性を証明すること。
• 測度論的エントロピーのタプルを特徴づけ、変分原理を用いてトポロジカルエントロピーのタプルと関係づけること。
• アーベル群作用の文脈において、一様正のエントロピー（u.p.e.）および完全に正のエントロピー（c.p.e.）の性質を調査すること。

提案手法

• アーベル群作用における有限開被覆に対する局所的変分原理を導入し、古典的結果を一般化する。
• 有限ボレル被覆に対する2つの測度論的エントロピー概念を定義し、アーベル群固有の深い収束補題を用いて、不変測度上でそれらの上半連続性を証明する。
• 既知のℤ作用に関する結果とダニレンコの軌道的アプローチ法を組み合わせることで、2つのエントロピー定義の同値性を証明する。
• アーベル群作用へのカトックの結果の局所的形への適応により、エントロピーと計量的構造との間の関係を確立する。
• トポロジカルおよび測度論的エントロピーのタプルを導入し、局所的変分原理を用いてそれらの変分関係を導出する。
• この枠組みをu.p.e.およびc.p.e.系の研究に適用し、有限積に関して保存されること、およびu.p.e. ⇒ c.p.e.やc.p.e. ⇒ 全ての台を持つ不変測度の存在といった含意関係が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算離散アーベル群作用に対して、有限開被覆に関する局所的変分原理をℤ作用のケースに類似して確立できるか？
• RQ2 アーベル群設定下で、有限ボレル被覆に対する2つの測度論的エントロピー定義が一致するか？ その同値性を証明するために必要な技法は何か？
• RQ3 一様正のエントロピー（u.p.e.）および完全に正のエントロピー（c.p.e.）の概念は、アーベル群作用へどのように一般化され、どのような構造的性質を示唆するか？
• RQ4 アーベル群作用におけるトポロジカルエントロピーのタプルと測度論的エントロピーのタプルの関係は何か？ それはどのように局所的変分原理から導かれるか？
• RQ5 可換アーベル群上の最小トポロジカルKシステムが強い混合性を示すのはどのような条件下か？

主な発見

• 可算離散アーベル群作用における有限開被覆に対する局所的変分原理が確立され、古典的変分原理は単純な議論により回復可能である。
• 有限ボレル被覆に対する2つの測度論的エントロピー定義が一致することが証明され、これはℤ作用における同値性とダニレンコの軌道的アプローチに依拠しており、この文脈では普遍的ロフリン補題が存在しないことによる。
• 測度論的エントロピーのタプルの集合が特徴づけられ、局所的変分原理の帰結として、トポロジカルエントロピーと測度論的エントロピーのタプルの間の変分関係が導出される。
• 一様正のエントロピー（u.p.e.）および完全に正のエントロピー（c.p.e.）は有限積に関して保存され、アーベル群設定下でu.p.e. ⇒ c.p.e.が成り立つ。
• 可換アーベル群上の最小トポロジカルKシステムが強く混合的であることが示され、これはℤ作用における既知の結果の一般化である。
• 本稿ではu.p.e.が弱混合性を含意すること、およびc.p.e.が全支持を持つ不変測度の存在を含意することを証明しており、古典的結果がアーベル群文脈へ拡張されている。