[論文レビュー] Local Euler Obstruction and Chern-Mather classes of Determinantal Varieties

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、代数的に閉じた任意の体上で、Grassmannian 上の交差理論を用いて、$\tau_{m,n,k}$ の局所オイラー歪みおよびチャーン＝マザー類を計算する。特徴的サイクルが既約であることを、普遍バンドルのチャーン類を用いた明示的公式の導出と、Macaulay2 による例示によって証明し、従来の複素幾何学的結果を任意の体へと拡張する。

ABSTRACT

For $m\geq n$, Let $K$ be an algebraic closed base field, and define $τ_{m,n,k}$ to be the set of $m imes n$ matrices over $K$ with kernel dimension $\geq k$. This is a projective subvariety of $\mathbb{P}^{mn-1}$, and is usually called determinantal variety. In most cases $τ_{m,n,k}$ is singular with singular locus $τ_{m,n,k+1}$. In this paper we compute the local Euler obstruction of $τ_{m,n,k}$, and we prove that the characteristic cycle of the intersection cohomology complex of $τ_{m,n,k}$ is irreducible. We also give an explicit formula for the Chern-Mather class of $τ_{m,n,k}$ as a class in projective space. The irreducibility of the intersection cohomology characteristic cycle follows from the explicit computation of the local Euler obstruction, a study of the `Tjurina transforms' of determinantal varieties, and the Kashiwara-Dubson's microlocal index theorem. Our explicit formulas are based on calculations of degrees of certain Chern classes of the universal bundles over the Grassmannian. We use The Schubert 2 package in Macaulay2 to exhibit examples of the Chern-Mather class and the class of the characteristic cycle of $τ_{m,n,k}$ for some small values of $m,n,k$. Over the complex numbers, the local Euler obstruction of $τ_{m,n,k}$ was recently computed by N.~Grulha, T.~Gaffney and M.~Ruas by methods in complex geometry.

研究の動機と目的

• 任意の代数的に閉じた体上で、行列式的多様体 $\tau_{m,n,k}$ の局所オイラー歪みを計算し、従来の複素幾何学的結果を拡張すること。
• $\tau_{m,n,k}$ のチャーン＝マザー類を射影空間内のクラスとして明示的に公式化すること。
• 局所オイラー歪みと微局所的技法およびKashiwara-Dubson のインデックス定理を用いて、$\tau_{m,n,k}$ 上の交差コホモロジー複体の特徴的サイクルが既約であることを証明すること。
• パスカルの三角形に類似した再帰的公式を、二項係数を用いて局所オイラー歪みが満たすことを示すこと。
• 小規模な $m,n,k$ に対して Macaulay2 を用いて計算的検証を行い、チャーン＝マザー類および射影的余接サイクルを提示すること。

提案手法

• Grassmannian の積 $G(k,k+i) \times G(i,m-n+k+i)$ 上での交差理論的計算を用い、普遍バンドルの逆チャーン類の積分として局所オイラー歪みを表現する。
• Kashiwara-Dubson の微局所的インデックス定理を適用し、局所オイラー歪みと IC 奏の特徴的サイクルとの関係を確立する。
• 行列式的多様体のTjurina変換を用いて特異点集合および分離構造を解析する。
• Grassmannian 上の普遍部分バンドルおよび商バンドルのチャーン類の次数計算を通じて、チャーン＝マザー類を導出する。
• $h_1, h_2$ および係数 $\beta_l$ を含む公式を用いて、余接サイクルを $\mathbb{P}^{N} \times \mathbb{P}^{N}$ 上のクラスに翻訳する。
• Schubert2 パッケージを用いた Macaulay2 を用いて、小規模な $m,n,k$ に対してチャーン＝マザー類および射影的余接サイクルの明示的例を計算・表示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の代数的に閉じた体上で、点のランクが $k+i$ である行列式的多様体 $\tau_{m,n,k}$ の局所オイラー歪みは何か？
• RQ2 $\tau_{m,n,k}$ のチャーン＝マザー類を $\mathbb{P}^{mn-1}$ 内のクラスとして明示的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 $\tau_{m,n,k}$ 上の交差コホモロジー層の特徴的サイクルは既約であるか？その幾何的構造は何か？
• RQ4 局所オイラー歪み $\tau_{m,n,k}$ はパスカルの三角形に類似した再帰的公式を満たすか？その成立する体は何か？
• RQ5 $\tau_{m,n,k}$ の余接サイクルはそのチャーン＝マザー類から再構成可能か？極座標（極的クラス）はこの再構成とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の代数的に閉じた体上で、$\tau_{m,n,k+i} \setminus \tau_{m,n,k+i+1}$ 内の点 $\varphi$ における $\tau_{m,n,k}$ の局所オイラー歪みは $\binom{k+i}{i}$ に等しく、これが成り立つ。
• 再帰的公式 $Eu_{m,n,k} + Eu_{m,n,k+1} = Eu_{m+1,n+1,k+1}$ は $k = 0,1,\dots,n-2$ に対して成り立ち、複素数体の場合の結果を任意の体へ一般化する。
• 交差コホモロジー層の特徴的サイクルは既約であり、微局所的インデックス理論を用いて $\tau_{m,n,k}$ の余接サイクルに等しいことが証明された。
• $\tau_{m,n,k}$ のチャーン＝マザー類は、Grassmannian 上の普遍バンドルのチャーン類を用いて $\sum_{l=0}^{N} \beta_l [\mathbb{P}^l]$ の形で明示的に計算された。
• 射影的余接サイクルは $h_1, h_2$ および係数 $\beta_l$ を含む公式を用いて再構成され、$\tau_{4,4,s}$ および $\tau_{5,4,s}$ に対して Macaulay2 で明示的な例が計算された。
• $\tau_{m,n,k}$ の $l$ 番目の極的クラスは、二項係数および余次元のシフトを用いたチャーン＝マザー成分の線形結合として表現された。