[論文レビュー] Local existence and uniqueness of heat conductive compressible Navier-Stokes equations in the presence of vacuum and without initial compatibility conditions

Jinkai Li, Yasi Zheng|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、初期データに初期適合条件を要しない3次元の熱伝導性圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、局所的強い解の存在と一意性を確立する。著者らは、時間に依存する重み付きエネルギー推定と、時間に特異的なグロンウォール型不等式を組み合わせた二段階のアプローチを提案し、正則性の欠如や適合条件の制約を克服する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the initial-boundary value problem to the heat conductive compressible Navier-Stokes equations. Local existence and uniqueness of strong solutions is established with any such initial data that the initial density $ρ_0$, velocity $u_0$, and temperature $θ_0$ satisfy $ρ_0\in W^{1,q}$, with $q\in(3,6)$, $u_0\in H^1$, and $\sqrt{ρ_0}θ_0\in L^2$. The initial density is assumed to be only nonnegative and thus the initial vacuum is allowed. In addition to the necessary regularity assumptions, we do not require any initial compatibility conditions such as those proposed in (Y. Cho and H. Kim, \emph{Existence results for viscous polytropic fluids with vacuum}, J. Differential Equations {\bf 228} (2006), no.~2, 377--411.), which although are widely used in many previous works but put some inconvenient constraints on the initial data. Due to the weaker regularities of the initial data and the absence of the initial compatibility conditions, leading to weaker regularities of the solutions compared with those in the previous works, the uniqueness of solutions obtained in the current paper does not follow from the arguments used in the existing literatures. Our proof of the uniqueness of solutions is based on the following new idea of two-stages argument: (i) showing that the difference of two solutions (or part of their components) with the same initial data is controlled by some power function of the time variable; (ii) carrying out some singular-in-time weighted energy differential inequalities fulfilling the structure of the Grönwall inequality. The existence is established in the Euler coordinates, while the uniqueness is proved in the Lagrangian coordinates first and then transformed back to the Euler coordinates.

研究の動機と目的

• 真空中にあっても、初期適合条件を要しない圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の局所的強い解の存在と一意性を確立すること。
• 先行研究で要求されていた初期データの適合条件の必要性を排除すること。
• 最小限の正則性を仮定した初期データ：$\rho_0 \in W^{1,q}$（$q \in (3,6)$）、$u_0 \in H^1$、$\sqrt{\rho_0}\theta_0 \in L^2$（ただし $\rho_0 \geq 0$ で真空中を許容）。
• 適合条件の仮定なしに、低正則性解に対して適した一意性証明戦略の構築

提案手法

• 標準的なエネルギー推定とソボレフ埋め込みを用いて、オイラー座標系で存在性を確立する。
• 変数変換により固定領域に変換した系を解析し、二つの解の差を評価することで、ラグランジュ座標系で一意性を証明する。
• 二段階のアプローチを導入：第一に、解の差を時間のべきで抑え、第二に、特異的時間依存の重み付きエネルギー不等式を適用する。
• 時間に特異的な重みを備えたグロンウォール型不等式を用い、解の差の成長を制御する。
• ラグランジュ座標系におけるナビエ＝ストークス方程式の構造、特にヤコビアンおよび速度場・温度場の変換を活用する。
• 変形勾配の随伴行列の発散に関する重要な補題を適用し、変換後の系でも構造的恒等式を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空中で初期適合条件を要しない圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、局所的強い解が存在しうるか？
• RQ2 従来の研究で仮定されていた正則性や適合条件が欠落している場合、一意性はどのように確立できるか？
• RQ3 最小正則性仮定下で解の差を制御するために、どのような新しい解析的手法が必要か？
• RQ4 時間に特異的な重みを備えた二段階エネルギー推定戦略は、一意性証明において標準的なグロンウォールの議論に代わるか？
• RQ5 ラグランジュ座標系への変換は、弱い仮定下で一意性証明をどのように支援するか？

主な発見

• 初期データに $\rho_0 \in W^{1,q}$（$q \in (3,6)$）、$u_0 \in H^1$、$\sqrt{\rho_0}\theta_0 \in L^2$ を仮定し、初期適合条件を要しない条件下でも、局所的強い解の存在が確立された。
• 先行研究で用いられていた標準的な初期適合条件（例：ChoとKim, 2006）を仮定せず、解の一意性が証明された。
• 同じ初期データを持つ二つの解の差が、与えられた正則性仮定のもとで時間のべきで抑えられ、具体的には $O(|t - t_0|^{3/4})$ であることが示された。
• 一意性証明は、新規の二段階的アプローチに依拠している：第一に、時間のべきによる解の差の局所的制御、第二に、時間に特異的な重み付きエネルギー不等式の適用。
• ラグランジュ座標系への変換は、一意性証明に不可欠であり、その後、オイラー座標系への逆変換が行われる。
• 重要な構造的補題が証明された：変形勾配の随伴行列の発散はゼロであり、これがラグランジュ形式における系の構造を保つ上で不可欠である。