[論文レビュー] Local Hochschild Homology of Hilbert-Schmidt Operators on Simplicial Spaces

Nicolae Teleman|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可算で局所的有限かつ一様な単体的複体 $X$ 上のヒルベルト＝シュミット作用素のバナッハ代数の局所ホッホシュילדホモロジーと、$X$ のアレクサンドル＝スパンナー・ホモロジーとの間の自然な同型を確立する。この結果は、ウェーブレット基底とホモトピー作用素を用いたサポート制御付きホッホシュルド複体の導入により得られ、標準的ホッホシュルドホモロジーが自明であるにもかかわらず、ホモロジーが $X$ の位相的不変量を捉えていることを示している。

ABSTRACT

Local Hochschild, cyclic Homology and K-theory were introduced by N. Teleman in [10] with the purpose of unifying different settings of the index theorem. This paper is one of the research topics announced in [10], §10. The definition of these new objects inserts the Alexander-Spanier idea for defining the co-homology [8] into the corresponding constructions. This is done by allowing only chains which have smal l support about the diagonal. This definition, applicable at least in the case of the Banach sub-algebras of the algebra of bounded operators on the Hilbert space of L2-sections in vector bundles, differs from various constructions due to A. Connes [1], A. Connes, H.Moscovici [2], M. Puschnigg [7], J. Cuntz [4]. In this paper we prove that the local Hochschild homology of the Banach algebra of Hilbert-Schmidt operators on any countable, locally finite homogeneous simplicial complex X is naturally isomorphic the Alexander-Spanier homology of the space X, Theorem 1. This result may be used to compute the local periodic cyclic homology of the algebra of Hilbert-Schmidt operators on such spaces X. The same result should hold in the case of the algebra of trace class operators L1 as well as in the case of smoothing operators s \subset L 1. In addition, the tools we introduce in this paper should apply also for computing the local Hochschild and periodic cyclic homology of the Schatten class ideals Lp, at least for the other values 1 < p < 2. Parts of what is presented here were stated in author's lecture at the International Alexandroff Reading Conference, Moscow, 21-25 May 2012.

研究の動機と目的

• 単体的複体上でのヒルベルト＝シュミット作用素の代数の局所ホッホシュルドホモロジーを計算すること、ここで標準的ホッホシュルドホモロジーは自明である。
• サポート制御を用いてアレクサンドル＝スパンナー・ホモロジー構成をホッホシュルドホモロジーに埋め込むことにより、インデックス理論を統一すること。
• 局所ホッホシュルドホモロジーが、作用素代数の標準的ホモロジーが自明であるにもかかわらず、基になる空間 $X$ の位相を検出できることを示すこと。
• シュレーディンガー $\mathcal{L}^p$ 理想およびトレースクラス作用素へとこの枠組みを拡張し、より広範な適用可能性を示唆すること。

提案手法

• チェーンが対角線の $\rho$-チューブ近傍内にサポートを持つサポート制御付きホッホシュルド複体 $C_{p, ho}$ を導入する。
• ホッホシュルド複体をギャップのない対角部分複体 $C^\Delta_\ast(HS)$ とギャップを含む部分複体 $C^0_\ast(HS)$ に分解する。
• ホモトピー作用素 $s$ を用いて $C^0_\ast(HS)$ の非可縮性を示し、ホモロジー計算を対角部分複体に還元する。
• 対角部分複体にホモトピー作用素 $S$ を定義し、任意の $p$-チェーンが、固定された正規直交基底要素 $I$ のみを用いたものにホモトープであることを示す。
• 固定された正規直交基底要素 $I$ のみを用いたチェーンからなる縮小対角複体 $C^I_\ast(HS)$ を定義し、そのホモロジーを計算するための新しいホモトピー $\tilde{S}$ を構成する。
• 複体 $X$ を細かくバーチカル・セミブリューショニングすることで、チェーンのサポートが対角線のチューブ近傍内に収まるようにし、同型が成立するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ホッホシュルドホモロジーが自明である場合に、局所ホッホシュルドホモロジーは単体的複体 $X$ の位相を検出できるか？
• RQ2 ヒルベルト＝シュミット作用素の局所ホッホシュルドホモロジーと単体的複体 $X$ のアレクサンドル＝スパンナー・ホモロジーとの間に自然な同型が存在するか？
• RQ3 ホッホシュルド複体におけるサポート制御は、標準的構成で失われた位相的情報をどのように回復するか？
• RQ4 ウェーブレットに基づく正規直交基底構造は、局所ホッホシュルドホモロジーの計算をどの程度促進するか？
• RQ5 この同型は、$1 < p < 2$ や $\mathcal{L}^1$ のような他のシュレーディンガー理想へと拡張可能か？

主な発見

• 任意の可算で局所的有限かつ一様な単体的複体 $X$ に対して、局所ホッホシュルドホモロジー $H^{\text{loc}}_p(HS(X))$ は、アレクサンドル＝スパンナー・ホモロジー $H^{AS}_p(X)$ と自然に同型である。
• 同型は、対角線の $2^{p+2}\epsilon$-近傍がチューブ近傍をなすように、単体的分解が十分に細かくされることを条件として成り立つ。
• 完全なホッホシュルド複体のホモロジーは、対角部分複体 $C^\Delta_\ast(HS)$ のホモロジーに還元され、さらにホモトピー作用素を用いて部分複体 $C^I_\ast(HS)$ にまで簡約される。
• 作用素 $\theta_p$ を $p+1$ 回作用することにより、任意の $p$-チェーンが、各単体上で固定された正規直交基底要素 $I$ のみを用いたものにホモトープにできる。
• 縮小対角複体 $C^I_\ast(HS)$ は、$\theta$ の多項式であるホモトピー $\tilde{S}$ を用いて、完全な局所ホッホシュルドホモロジーを計算する。
• この構成はコンネス＝モスコビッチの定理3.9に依存せず、同型の新たな自己完結的証明を提供する。