[論文レビュー] Hochschild and cyclic (co)homology of preprojective algebras of quivers of type T

Ching-Hwa Eu|ArXiv.org|Oct 23, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特性が0の体上の型Tのクイバーの前射影代数のホッフチルドおよびサイクル（余）ホモロジーを、周期6の周期的射影的分解を用いて計算する。ホッフチルド余ホモロジー環が明示的な基底で生成されることを確立し、周期性を除いてすべてのカップ積を計算し、バタリン＝ヴィルコヴィチ構造と、ADEの場合とは異なり恒等写像である唯一の中島自己同型が存在することを明らかにする。

ABSTRACT

We calculate the additive and multiplicative structure (together with the grading) of the Hochschild homology and cohomology and the cyclic homology of preprojective algebras of types T. We also compute the calculus structure which is formed by the Hochschild homology/cohomology pair.

研究の動機と目的

• 型Tクイバーの前射影代数のホッフチルドホモロジーおよび余ホモロジー空間を計算すること。
• カップ積を用いたホッフチルド余ホモロジー環の完全な構造を特定すること。
• ホッフチルド（余）ホモロジーにおける計算構造、特にバタリン＝ヴィルコヴィチ作用素を分析すること。
• 中島自己同型が型Tの場合にどのように作用するかを明確にし、ADEの場合とは異なり恒等写像であることを示すこと。
• 先行研究における型Aの前射影代数のカップ積計算の誤りを是正すること。

提案手法

• 前射影代数Aの6周期的射影的分解を構成し、周期性を用いてホッフチルド（余）ホモロジーを計算可能にする。
• 同型 $ HH^i(A) \cong \underline{\mathrm{Hom}}(\Omega^i A, A) $ を用いて、余ホモロジー類を双加群写像と特定する。
• コンネス完全系列およびAのカラビ＝ヤウフロベニウス性から得られる双対定理を適用し、ホモロジーおよび余ホモロジーを計算する。
• 解像と次数交換性を用いて、$ 0 \leq i \leq j \leq 5 $ のすべてのカップ積 $ HH^i(A) \times HH^j(A) \to HH^{i+j}(A) $ を計算する。
• 計算構造から誘導されるリー微分 $ \mathcal{L} $ を用いてバタリン＝ヴィルコヴィチ構造を導出する。
• コンネス微分、ゲルステンハーバー括弧、および縮約写像の明示的公式を用いて計算構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型Tクイバーの前射影代数のホッフチルド余ホモロジー環 $ HH^*(A) $ の構造は何か？
• RQ2 型Tの場合の中島自己同型はADEの場合とどのように異なり、その意味は何か？
• RQ3 前射影代数Aの射影的分解の周期性および構造は何か？
• RQ4 ホッフチルド余ホモロジー $ HH^*(A) $ のカップ積はどのように計算され、その代数的構造は何か？
• RQ5 ホッフチルド余ホモロジー $ HH^*(A) $ にバタリン＝ヴィルコヴィチ構造は存在するか？また、計算構造からどのように導出されるか？

主な発見

• ホッフチルド余ホモロジー環 $ HH^*(A) $ は、次数0から5までの明示的基底で生成され、すべてのカップ積が周期性を除いて計算済みである。
• Aの射影的分解は周期6であり、ADEの場合とは異なるA-双加群を含む。
• Aの中島自己同型は恒等写像であり、ADEの場合の位数2の自己同型とは対照的である。
• $ HH^*(A) $ のカップ積構造は $ i,j \leq 5 $ で完全に特定され、残りの積は周期性および次数交換性から導かれる。
• バタリン＝ヴィルコヴィチ作用素はリー微分 $ \mathcal{L} $ を用いて計算され、$ (HH^*(A), HH_*(A)) $ 上の計算構造は明示的に記述されている。
• [ES2]における $ HH^2(A) \cup HH^2(A) $ の積に関する誤りを是正し、正しい行列が特定の境界条件を満たす三重対角行列の逆行列であることを示している。