[論文レビュー] Local index formula and twisted spectral triples

Henri Moscovici|ArXiv.org|Feb 5, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、局所定数の横断的共形係数を伴う共形フォリエーションから生じるタイプIIIのねじれスペクトル三重対について、局所的インデックス公式を確立する。JLOコサイクルがコンネスの二重複体においてコサイクルでないにもかかわらず、無限大温度極限および正の半直線への積分により、コサイクル恒等式が回復され、コンネス＝チェルン類の残留積分表現が得られ、これは元の非ねじれの場合と一致する。

ABSTRACT

We prove a local index formula for a class of twisted spectral triples of type III modeled on the transverse geometry of conformal foliations with locally constant transverse conformal factor. Compared with the earlier proof of the untwisted case, the novel aspect resides in the fact that the twisted analogues of the JLO entire cocycle and of its retraction are no longer cocycles in their respective Connes bicomplexes. We show however that the passage to the infinite temperature limit, respectively the integration along the full temperature range against the Haar measure of the positive half-line, has the remarkable effect of curing in both cases the deviations from the cocycle identity.

研究の動機と目的

• 非ねじれからねじれスペクトル三重対のタイプIIIへの局所的インデックス公式を拡張すること。
• ねじれJLOコサイクルがコンネスの二重複体においてコサイクルの恒等式を満たさないという問題を解決すること。
• 無限大温度極限およびハール測度による正の半直線への積分が、局所的インデックス公式に必要なコサイクルおよびトランスグレッション恒等式を回復することを示すこと。
• モビウスまたは類似変換のモノドロミーを伴う共形フォリエーションの具体的な例において、ねじれ局所的インデックス公式のアンツァツを検証すること。
• ねじれの場合でも、コンネス＝チェルン類が非ねじれの場合と同様に残留積分で表現可能であることを確立すること。

提案手法

• 先行研究における局所ホッホシュタイナー・コサイクルの形に基づくアンツァツを用いて、ねじれ局所的インデックス公式を提案する。
• モビウスまたは類似変換のモノドロミーを伴う共形フォリエーションの横断的幾何をモデル化するスペクトル三重対に対して、アンツァツを検証する。
• 温度パラメータを導入し、ねじれJLOコサイクルの無限大温度極限を分析してコサイクル恒等式を回復する。
• 正の半直線に対するハール測度を用いた積分を用いて、コサイクル恒等式を満たすトランスグレッションされたコサイクルを構成する。
• 以前の研究で得られた残留積分構成を適用し、得られたコサイクルを局所的公式として表現する。
• K理論的クラスとのインデックスペアリングにより、その公式が正しいコンネス＝チェルン類を計算することを示して検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれスペクトル三重対のタイプIIIに対して、ねじれJLOコサイクルがコンネスの二重複体においてコサイクルでないにもかかわらず、局所的インデックス公式を確立できるか？
• RQ2 無限大温度極限が、ねじれJLOコサイクルのコサイクル恒等式を回復するか？
• RQ3 正の実数直線ℝ⁺のハール測度に関して、全温度範囲にわたる積分が、ねじれ設定におけるトランスグレッション恒等式からの逸脱を是正できるか？
• RQ4 ねじれスペクトル三重対のコンネス＝チェルン類は、非ねじれの場合と同様に残留積分による局所的表現を有するか？
• RQ5 類似構造を伴う共形フォリエーションのような幾何的例において、提案された局所的公式を検証できるか？

主な発見

• ねじれJLOコサイクルはコンネスの二重複体においてコサイクルでないが、無限大温度極限によりコサイクル恒等式が回復される。
• 正の半直線に対するハール測度を用いた全温度範囲への積分により、トランスグレッション恒等式が回復され、真のコサイクルが得られる。
• 得られたコサイクルは、非ねじれの場合と同様に残留積分として表現可能である。
• アンツァツが、放物型モノドロミー（つまりℝⁿ上の類似変換）を伴う共形フォリエーションをモデル化するスペクトル三重対において、正しく成立することが検証された。
• ねじれスペクトル三重対のコンネス＝チェルン類は、標準形式と一致する残留コサイクルによって表現される。
• ねじれディラック作用素のKホモロジー類と、不変な楕円型作用素から得られるK理論的クラスとのインデックスペアリングは整数に一致し、トポロジカルな期待と整合的であることが確認された。