[論文レビュー] Local integration by parts and Pohozaev identities for higher order fractional Laplacians

Xavier Ros‐Oton, Joaquim Serra|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$s > 1$ における高階分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ に対して、局所的積分部分積分公式とポホジャエフ恒等式を確立する。これは $s \in (0,1)$ の場合の先行研究を拡張したものである。主な貢献は、$u/d^s$ を含む境界項の導出であり、これは有界領域における $(-\Delta)^s$ の固有関数の一意的拡張性を可能にする。

ABSTRACT

We establish an integration by parts formula in bounded domains for the higher order fractional Laplacian $(-Δ)^s$ with $s>1$. We also obtain the Pohozaev identity for this operator. Both identities involve local boundary terms, and they extend the identities obtained by the authors in the case $s\in(0,1)$. As an immediate consequence of these results, we obtain a unique continuation property for the eigenfunctions $(-Δ)^sϕ=λϕ$ in $Ω$, $ϕ\equiv0$ in $\mathbb R^n\setminusΩ$.

研究の動機と目的

• $s \in (0,1)$ の場合の積分部分積分とポホジャエフ恒等式を、$s > 1$ の高階分数階ラプラシアンに拡張すること。
• $(-\Delta)^s$ に対して、有界な滑らかな領域でも有効な局所的境界項の定式化を確立すること。
• $(-\Delta)^s\phi = \lambda\phi$ を満たし、$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ で $\phi \equiv 0$ である $(-\Delta)^s$ の固有関数に対して、一意的拡張性を証明すること。
• Grubb [13] の正則性結果と関数 $d(x)$ を用いて、高階分数階偏微分方程式の厳密な解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• $s \in (0,1)$ の結果を[29]から拡張し、関数 $d(x)$ を用いて滑らかな境界重みを定義することで、$s > 1$ の $(-\Delta)^s$ に対する積分部分積分公式を導出する。
• Grubb [13] の正則性理論を用いて、$g \in L^\infty(\Omega)$ のもとで、$(-\Delta)^s u = g$ を満たし、$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ で $u \equiv 0$ である解 $u$ に対して、$u/d^s \in C^\infty(\overline{\Omega})$ が成り立つことを確立する。
• 滑らかな近似 $g_k \to g$ を用いた密度論的議論により、恒等式を滑らかでない $L^\infty$ データへと拡張し、$u_k/d^s$ が $C^\alpha(\overline{\Omega})$ 内で $u/d^s$ へ収束することを保証する。
• 超幾何関数を用いて、$(1 - |x|^2)_+^s$ における $(-\Delta)^s$ の作用を明示的に計算し、単項式への分数階ラプラシアンの作用を用いて、ポホジャエフ恒等式における定数 $\Gamma(1+s)^2$ を計算する。
• ポホジャエフ恒等式を用いて、固有関数条件下で境界積分項が消えることを示し、これにより $\phi \equiv 0$ が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ ($s > 1$) に対して、$s \in (0,1)$ の場合と同様の局所的積分部分積分公式を確立できるか？
• RQ2 高階分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ ($s > 1$) のポホジャエフ恒等式における境界項の正確な形は何か？また、$u/d^s$ にどのように依存するか？
• RQ3 高階分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ ($s > 1$) のポホジャエフ恒等式は、$\Omega$ 外部で消える固有関数に対して一意的拡張性を示唆するか？
• RQ4 非整数 $s > 1$ に対して、ポホジャエフ恒等式における定数 $\Gamma(1+s)^2$ を明示的に計算する方法は何か？
• RQ5 Grubb [13] の正則性結果は、$s > 1$ に対して $u/d^s$ を含む局所的恒等式を導出するのにどの程度有効か？

主な発見

• $(-\Delta)^s$ に対して、$s > 1$ に対して局所的境界項を含む積分部分積分公式が確立された。この境界項は $\Gamma(1+s)^2 \int_{\partial\Omega} \left(\frac{u}{d^s}\right)^2 (x \cdot \nu) \, d\sigma$ に比例し、$u \in H^s(\mathbb{R}^n)$ かつ $(-\Delta)^s u \in L^\infty(\Omega)$ の場合に有効である。
• 高階分数階ラプラシアン $(-\Delta)^s$ ($s > 1$) に対するポホジャエフ恒等式が、$\int_\Omega (x \cdot \nabla u)(-\Delta)^s u \, dx = \frac{2s - n}{2} \int_\Omega u (-\Delta)^s u \, dx - \Gamma(1+s)^2 \int_{\partial\Omega} \left(\frac{u}{d^s}\right)^2 (x \cdot \nu) \, d\sigma$ の形で導出され、境界項が明示的に特定された。
• ポホジャエフ恒等式における定数 $\Gamma(1+s)^2$ は、超幾何関数の恒等式と単項式への分数階ラプラシアンの作用を用いて、厳密に計算された。
• 一意的拡張性が証明された：$\phi \in H^s(\mathbb{R}^n)$ が $(-\Delta)^s \phi = \lambda \phi$ を $\Omega$ 内で満たし、$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ で $\phi \equiv 0$ であれば、ポホジャエフ恒等式における境界積分項が消えるため、$\phi \equiv 0$ が $\Omega$ 内で成り立つ。
• $g \in C^\alpha(\overline{\Omega})$ のもとで、$(-\Delta)^s u = g$ を満たし、$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ で $u \equiv 0$ である解 $u$ に対して、$u/d^s \in C^\infty(\overline{\Omega})$ が成り立つという正則性結果が、密度論的議論における近似列の点単位収束を正当化するために用いられた。