[論文レビュー] Local inverse scattering at fixed energy in spherically symmetric asymptotically hyperbolic manifolds

Thierry Daudé, Damien Gobin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、固定エネルギーにおけるディラック波の散乱を用いて、球対称で漸近的に双曲的である多様体に対して、局所的逆散乱の一意性を確立する。球対称性により3次元散乱問題を角運動量 $ n $ でパラメータ化された1次元ディラック方程式の族に還元し、左（または右）の反射係数が誤差項 $ O(e^{-2nB}) $ まで一致するならば、それに対応する端近傍における計量が一意に特定されることを証明する。回復可能な近傍の大きさは $ B > 0 $ に依存する。

ABSTRACT

In this paper, we adapt the well-known \\emph{local} uniqueness results of Borg-Marchenko type in the inverse problems for one dimensional Schr{\\"o}dinger equation to prove \\emph{local} uniqueness results in the setting of inverse \\emph{metric} problems. More specifically, we consider a class of spherically symmetric manifolds having two asymptotically hyperbolic ends and study the scattering properties of massless Dirac waves evolving on such manifolds. Using the spherical symmetry of the model, the stationary scattering is encoded by a countable family of one-dimensional Dirac equations. This allows us to define the corresponding transmission coefficients $T(\\lambda,n)$ and reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ and $R(\\lambda,n)$ of a Dirac wave having a fixed energy $\\lambda$ and angular momentum $n$. For instance, the reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ correspond to the scattering experiment in which a wave is sent from the \\emph{left} end in the remote past and measured in the same left end in the future. The main result of this paper is an inverse uniqueness result local in nature. Namely, we prove that for a fixed $\\lambda \ ot=0$, the knowledge of the reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ (resp. $R(\\lambda,n)$) - up to a precise error term of the form $O(e^{-2nB})$ with $B\ extgreater{}0$ - determines the manifold in a neighbourhood of the left (resp. right) end, the size of this neighbourhood depending on the magnitude $B$ of the error term. The crucial ingredients in the proof of this result are the Complex Angular Momentum method as well as some useful uniqueness results for Laplace transforms.

研究の動機と目的

• 1次元シュレーディンガー作用素に対する Borg-Marchenko 型の局所的一意性結果を、曲がった3次元／4次元多様体上の逆計量問題へと拡張すること。
• 2つの端を持つ球対称で漸近的に双曲的多様体（SSAHM）上での質量ゼロのディラック波の逆散乱を研究すること。
• 固定エネルギーにおける散乱データ（特に反射係数）が、各端の近傍で計量を局所的に一意に回復できる条件を特定すること。
• 複素角運動量法およびラプラス変換の一意性の役割を逆問題において分析すること。
• 誤差項の減衰率 $ B $ に依存する回復近傍の大きさを持つ、局所的一意性結果を確立すること。

提案手法

• 球対称性を用いて、3次元ディラック方程式を角運動量 $ n $ でパラメータ化された可算無限個の1次元ディラック方程式に分解する。
• 固定エネルギー $ \lambda \neq 0 $ および角運動量 $ n $ の波に対して、透過係数 $ T(\lambda,n) $、左反射係数 $ L(\lambda,n) $、右反射係数 $ R(\lambda,n) $ を定義する。
• 複素角運動量法を適用し、散乱データを複素 $ z $-平面上での反射振幅の解析的構造に関連付ける。
• ラプラス変換の一意性結果を用いて、反射係数が $ O(e^{-2nB}) $ の誤差まで一致するならば、局所的計量回復が可能であることを示す。
• 複素平面上における反射振幅の零点を分析し、漸近的パラメータ $ \kappa_{\pm} $、$ a_{\pm} $ に対する必要条件を導出する。
• 反射係数が有理関数まで一致し、追加のデータ（例：透過係数、または有限個の反射係数）が既知ならば、計量は平行移動を除いて等長であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定エネルギーにおける反射係数のみが与えられたとき、3次元で漸近的に双曲的である多様体に対して、逆散乱の局所的一意性を確立できるか？
• RQ2 反射係数データにおける誤差項 $ O(e^{-2nB}) $ の減衰率 $ B $ が、計量を一意に再構成可能な領域の大きさにどのように影響するか？
• RQ3 複素角運動量法およびラプラス変換の一意性定理が、この幾何的設定における計量回復にどの程度寄与するか？
• RQ4 透過係数や反射係数の完全な知識が得られない状況でも、SSAHM上でのディラック波の逆散乱問題は局所的に解けるか？
• RQ5 有限個の反射係数と一致する透過データなどの部分的散乱データから、計量が等長性を除いて回復可能となる条件は何か？

主な発見

• 固定された $ \lambda \neq 0 $ に対して、左反射係数 $ L(\lambda,n) $ が誤差 $ O(e^{-2nB}) $ まで一致するならば、左端近傍における計量が一意に特定される。回復可能な近傍の大きさは $ B > 0 $ に依存する。
• 右反射係数 $ R(\lambda,n) $ に対しても同様の結果が成り立ち、右端近傍における局所的一意性が示される。
• 反射係数 $ L(\lambda,n) $ と $ \tilde{L}(\lambda,n) $（同様に $ R $）が $ z $ に関する有理関数まで一致し、かつ透過係数 $ T(\lambda,n) $ が発散する逆数和 $ \sum_{n\in\mathcal{L}} 1/n = \infty $ を満たす集合 $ \mathcal{L} $ で一致するならば、計量は平行移動を除いて等長である。
• もし $ \frac{1}{\kappa_+} + \frac{1}{\kappa_-} < 0 $ ならば、有限個の反射値 $ L(\lambda,k) $ と発散する集合での透過データ $ T(\lambda,n) $ が一致するならば、$ \tilde{a}(x) = a(x + \sigma) $ となる $ \sigma \in \mathbb{R} $ が存在し、多様体は等長である。
• 与えられた条件下で、漸近的パラメータ $ \kappa_\pm $ および $ a_\pm $ は散乱データによって一意に特定される。
• 本稿では、有理関数まで一致する反射係数のみから、平行移動を除く一意性が結論付けられない可能性があると予想し、これを未解決問題として残している。