[論文レビュー] Local large deviations principle for occupation measures of the damped nonlinear wave equation perturbed by a white noise

Davit Martirosyan, Vahagn Nersesyan|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、空間的に滑らかな空間時間白色ノイズで摂動される減衰非線形波動方程式の占有測度に対して、局所的大偏差原理（LDP）を確立する。放物型PDEからのカップリングおよびエルゴード性技術を拡張することで、自明でないレート関数を有するレベル1 LDPを証明し、その関数は定常測度でのみ消えることを示しており、与えられたノイズ条件のもとで不変測度への高濃度は不可能であることを示している。

ABSTRACT

We consider the damped nonlinear wave (NLW) equation driven by a spatially regular white noise. Assuming that the noise is non-degenerate in all Fourier modes, we establish a large deviations principle (LDP) for the occupation measures of the trajectories. The lower bound in the LDP is of a local type, which is related to the weakly dissipative nature of the equation and seems to be new in the context of randomly forced PDE's. The proof is based on an extension of methods developed in \cite{JNPS-2012} and \cite{JNPS-2014} in the case of kick forced dissipative PDE's with parabolic regularisation property such as, for example, the Navier-Stokes system and the complex Ginzburg-Landau equations. We also show that a high concentration towards the stationary measure is impossible, by proving that the rate function that governs the LDP cannot have the trivial form (i.e., vanish on the stationary measure and be infinite elsewhere).

研究の動機と目的

• 非退化な空間時間白色ノイズの下で、減衰非線形波動（NLW）方程式の占有測度に対して大偏差原理（LDP）を確立すること。
• キック駆動型放物型PDE（例：ナビエ–ストークス方程式、複素ギンツバーグ＝ランダウ方程式）からの手法を、空間的に滑らかなノイズを伴う双曲型で弱く散逸的である方程式へと拡張すること。
• LDPにおけるレート関数が自明でない（すなわち、定常測度でのみ消える）ことを示し、不変測度への無限大の濃度が不可能であることを示すこと。
• 全位相空間全体ではなく、定常測度の期待値の近傍で有効な局所的大偏差原理を証明すること。

提案手法

• [JNPS, JNPS14] からのカップリング法を適応し、2つの軌道に対して結合マルコフ過程を構築し、それらの分布収束を保証する。
• マルコフ半群のスペクトル性質とLDPを結びつけるために、乗法的エルゴード定理を用いる。
• スペクトルギャップの存在と一様再帰性から、キファーの定理の局所版を適用してLDPを導出する。
• すべてのフーリエモードで空間的正則性と非退化性を保証するために、ノイズ係数 $ b_j $ に条件を課す。
• 正則解のための指数的タイトネスおよびモーメント推定を用いて、占有測度の尾部挙動を制御する。
• 一様Feller性を確立し、一般化されたマルコフ半群を用いてノイズによって誘発される非マルコフ構造を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型正則化が欠如する中で、空間時間白色ノイズを伴う減衰非線形波動方程式の占有測度に対して大偏差原理を確立できるか？
• RQ2 LDPにおけるレート関数は非自明か、それとも定常測度でのみ消えるのか。後者であれば、不変法則への無限大の濃度が可能である。
• RQ3 弱く散逸的で強い正則化がない系において、LDPの局所的性質はどのように生じるか？
• RQ4 ノイズ係数 $ b_j $ にどのような条件を課すと、LDPの成立に必要な混合性と再帰性が保証されるか？
• RQ5 放物型PDEに用いられるカップリング法を、非退化ノイズを伴う双曲型SDEに適応可能か？

主な発見

• 空間的に滑らかな白色ノイズを伴う減衰NLW方程式の占有測度に対して、局所的大偏差原理（レベル1）が確立された。
• レート関数 $ I^ ho $ は凸的であり、非自明である。これは、定常測度でのみ消えることを意味し、不変法則への無限大の濃度が排除されることを示している。
• すべての有界集合において $ H^{rak{s}+1}(D) \times H^{rak{s}}(D) $ で一様にLDPが成り立つ。$ rak{s} > 0 $ が小さい場合に成立し、初期データに対する頑健性が保証される。
• 証明は、放物型PDEからのカップリングおよびエルゴード性技術を、双曲型で弱く散逸的である設定へと拡張することに依存している。
• エネルギー型不等式およびソボレフ埋没を用いて、正則解のための指数的タイトネスおよびモーメント推定が確立された。
• すべてのフーリエモードでノイズの非退化性（$ b_j > 0 $）は、一様再帰性およびLDPの有効性を保証するために不可欠である。