[論文レビュー] Local models of Shimura varieties, I. Geometry and combinatorics

G. Pappas, Michael Rapoport+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 92被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、シュイマ多様体の局所モデルについて、その幾何と組合せ論に焦点を当てた包括的なサーベイを提供する。局所モデルの2つのアプローチ——グリスマン多様体における線形代数的データを用いたものと、ベイリンソン＝ドリーフィールド＝ゲイツゴリーの変形におけるシューベル多様体の閉包を用いたもの——を提示し、特にパラホリックレベル構造の場合にシュイマ多様体の特異点をモデル化する役割を強調する。平坦性、コhen＝マカウレイ性、有理特異点、および正規交叉特異ファイバーを持つ解消に関する主要な結果を示す。

ABSTRACT

We survey the theory of local models of Shimura varieties. In particular, we discuss their definition and illustrate it by examples. We give an overview of the results on their geometry and combinatorics obtained in the last 15 years. We also exhibit their connections to other classes of algebraic varieties such as nilpotent orbit closures, affine Schubert varieties, quiver Grassmannians and wonderful completions of symmetric spaces.

研究の動機と目的

• 局所モデルの理論をサーベイし、幾何的および組合せ論的構造に重点を置く。
• p を法としての還元におけるシュイマ多様体の特異点を理解するうえで、局所モデルが果たす役割を明確化する。特に、p におけるレベル構造がパラホリックの場合を対象とする。
• 局所モデルを、アーベル多様体のモジュライ、特異曲線上のベクトル束、有限平坦群スキームのモジュライといった、より広範な代数幾何の文脈と結びつける。
• 過去15年間における平坦性、コhen＝マカウレイ性、および正規交叉特異ファイバーを持つ解消に関する未解決問題と最近の進展を強調する。
• コherentおよびℓ-adic層コホモロジー、および近傍サイクルに関するコットヴィッツ予想を含む、コホモロジカル側面に関する続編の基盤を築く。

提案手法

• タイプA、C、および一部のDの場合に、グリスマン多様体の積における線形代数的データから得られる、離散付値環のスペクトル上の射影的スキームとして局所モデルを定義する。
• アフィンフラッグ多様体のベイリンソン＝ドリーフィールド＝ゲイツゴリーの変形を用いて、局所モデルをシューベル多様体の閉包として実現する。
• Iwahori＝Weyl群における{μ}-可適集合を用いて、局所モデルの特異ファイバーを分析し、組合せ論と幾何を結びつける。
• 同変射影埋め込み（PGLr）^s / PGLr を用いた均質空間のデリーニュスキームおよびその最小モデルを用いて、解消技術を適用する。
• 行列方程式（例：AA^T = A^T A = π·I）を用いた明示的解消を構成し、それらをワンドフル補完とトロイダル解消と関連付ける。
• ファルティングスの手法を用いて、局所モデルの同変解消を構築し、特異ファイバーが計算可能な重複度を持つ正規交叉除集合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル構造がパラホリックである場合に、局所モデルはpを法としての還元におけるシュイマ多様体の特異点をどのように捉えているか？
• RQ2 局所モデルが平坦、コhen＝マカウレイ、または有理特異点をもつための条件は何か？
• RQ3 局所モデルは、有限平坦群スキームや特異曲線上のベクトル束のモジュライ空間など、他のモジュライ空間とどのように関係しているか？
• RQ4 正規交叉特異ファイバーを持つ局所モデルの明示的解消は構成可能か？ また、その成分の重複度は何か？
• RQ5 局所モデルの近傍サイクル複体の構造は何か？ そして、コットヴィッツ予想とどのように関係しているか？

主な発見

• 行列方程式 Z = {A ∈ Mat_n×n | AA^T = A^T A = π·I} に対して、n が偶数のとき平坦閉包はコhen＝マカウレイで有理特異点をもち、n が奇数のときは正規化がコhen＝マカウレイで有理特異点をもつ。
• ファルティングスは、2型のシンプレクティック群に対して、特異ファイバーが正規交叉となる同変解消を構成し、成分の重複度を計算した。
• ラティス配置に関連するデリーニュスキームの最小モデル D_min は、r = 2 のとき Spec R 上で半安定曲線を定める。この曲線は、0型の半安定マーク付き曲線のモジュライ空間を介して配置をパラメトライズする。
• ラティス配置の普遍族の基底は、(PGL2)^s / PGL2 の射影的同変埋め込みであり、これはラウモン型であり、局所モデルの正則変形を可能にする。
• 方程式 {A = A^T, A^2 = π·I} の解空間は、分岐ユニタリ群および最大パラホリック部分群の局所モデルをモデル化する。
• 式 (8.4.8)–(8.4.10) に現れる行列方程式は、対称空間を射影空間に埋め込むことから生じるが、それらの特異点は、事前に直接関連しないにしても、局所モデルによってモデル化されることが示された。