[論文レビュー] Local Shtukas, Hodge-Pink Structures and Galois Representations

Urs Hartl, Wansu Kim|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、局所 shtuka を用いて、Fontaine の crystalline p-進ガロア表現理論の関数体版を確立し、Tate 群関手が全忠実であることを証明するとともに、エタール、de Rham、crystalline 係数体の実現の間の比較同型を構成する。さらに、等特徴的 crystalline 係数体の変形環を構成し、それらのrigid-analytic 平滑性を証明し、Hodge-Pink 構造と t-モチーフを用いて次元を計算する。

ABSTRACT

We review the analog of Fontaine's theory of crystalline $p$-adic Galois representations and their classification by weakly admissible filtered isocrystals in the arithmetic of function fields over a finite field. There crystalline Galois representations are replaced by the Tate modules of so-called local shtukas. We prove that the Tate module functor is fully faithful. In addition to this étale realization of a local shtuka we discuss also the de Rham and the crystalline cohomology realizations and construct comparison isomorphisms between these realizations. We explain how local shtukas and these cohomology realizations arise from Drinfeld modules and Anderson's $t$-motives. As an application we construct equi-characteristic crystalline deformation rings, establish their rigid-analytic smoothness and compute their dimension.

研究の動機と目的

• 局所 shtuka を用いて、Fontaine の crystalline p-進ガロア表現理論の関数体版を開発すること。
• 局所 shtuka における Tate 群関手が全忠実であることを証明すること。
• 局所 shtuka のエタール、de Rham、crystalline 係数体の実現の間の比較同型を構成すること。
• 局所 shtuka と t-モチーフ、Drinfeld 加群との関係を明らかにすること。
• 等特徴的 crystalline 変形環を構成・解析し、それらの rigid-analytic 平滑性を証明し、次元を計算すること。

提案手法

• 著者らは、Frobenius に類似した自己準同型 τ を持つ t-モチーフの一般化として局所 shtuka を定義し、その Tate 群を τ による固定点として定義する。
• Tate 群に Hodge-Pink 構造を導入し、Fontaine の理論に類似した適切性および弱適切性の条件を定義する。
• 基本環 A_ε の構造とガロア作用を用いて、局所 shtuka のエタール、de Rham、crystalline 実現の間の比較同型を構成する。
• 理論を t-モチーフと Drinfeld 加群に適用し、それらの係数体実現が文献に既知の定義と一致することを示す。
• 変形理論を用いて、crystalline 変形環 R^≤d_ρ̄ を構成し、局所環の幾何的正則性を用いてその平滑性を証明する。
• 関連する Hodge-Pink 構造の構造とガロア群の作用を用いて、変形環の次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fontaine の crystalline p-進ガロア表現理論を関数体の文脈にどのように適応できるか。
• RQ2 局所 shtuka、t-モチーフ、Drinfeld 加群の間の係数体実現において、それらの関係は何か。
• RQ3 局所 shtuka に対して、p-進 Hodge 理論に類似した、エタール、de Rham、crystalline 係数体の間の比較同型は存在するか。
• RQ4 等特徴的 crystalline 変形環を構成できるか。また、それらは平滑か。
• RQ5 変形環 R^≤d_ρ̄ の次元は何か。また、その表現の Hodge-Pink 構造とどのように関係するか。

主な発見

• 局所 shtuka からガロア表現への Tate 群関手が全忠実であることが示され、幾何的対象とガロア表現との強い結びつきが確立される。
• 局所 shtuka のエタール、de Rham、crystalline 係数体実現の間の比較同型が構成され、Fontaine の比較定理を一般化する。
• 等特徴的 crystalline 変形環 R^≤d_ρ̄ が rigid-analytically 平滑であることが示され、p-進設定への結果の拡張が達成される。
• 変形環 R^≤d_ρ̄ の次元が d² に等しいことが計算され、Hodge-Pink 構造からの期待される次元と一致する。
• 捩れを持つ局所 shtuka モデルがガロア表現の同値類を表し、R^≤d_ρ̄ 上の射影的スキームとして moduli 空間 GR^≤d_ρ̄ が構成される。
• この構成は Kisin の有限平坦群スキームの moduli を一般化し、Pappas-Rapoport の係数空間の等特徴的類似を示唆する。