[論文レビュー] Local Time in Parisian Walkways

Jirô Akahori|ArXiv.org|Apr 18, 2006

Public Spaces through Art参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ζ を原始的3乗根とする複素格子 ℤ[ζ] 上の対称的ランダムウォーク（パリジアンウォーク）に対して、離散的イトおよびタナカの公式を確立する。固定集合 P からのグラフ距離から、3つの特定の領域からの脱出回数（局所時間）を差し引くと、単純な対称的ランダムウォークが得られ、平面上のブラウン運動の離散的類似物として、明示的なマルティングールおよび確率積分の構造を持つことが示される。

ABSTRACT

In the present paper, Ito formula and Tanaka formula for a special kind of symmetric random walk in the complex plain are studied. The random walk is called Parisian walk, and its local time is defined to be the number of exit from some regions.

研究の動機と目的

• アイゼンシュタイン整数 ℤ[ζ] 上の対称的ランダムウォーク（パリジアンウォークと呼ぶ）に対する確率的微分積分学の枠組みを構築すること。
• 局所時間（3つの特定の閉領域 A̅₁, A̅₃, A̅₅ からの脱出回数）を定義し、その幾何的構造との関係を分析すること。
• ウォークの状態空間上の複素関数に対して離散的イトの公式を確立すること。
• グラフ距離の変化をマルティングールと局所時間の成分に分解するタナカ型の公式を導出すること。
• グラフ距離と局所時間の差が単純な対称的ランダムウォークであることを示し、重要な構造的恒等式を確立すること。

提案手法

• パリジアンウォークを、{1, ζ, ζ²} に値をとる増分をそれぞれ確率 1/3 で持つ ℤ[ζ]-値マルティングールとして定義する。
• 局所時間 Lₜ を、時刻 t までに A̅₁, A̅₃, A̅₅ からの脱出回数の合計として定義する。
• (Z, Z̄) に対するマルティングール表現性を証明し、任意の複素マルティングールが Z および Z̄ に関するストラスリッチ積分として表現可能であることを示す。
• 離散的イトの公式（命題3）を導出し、f(Zₜ₊₁) − f(Zₜ) を ΔZₜ, ΔZ̄ₜ および離散ラプラシアンに類似した項で表す。
• タナカの公式（命題4）を確立し、グラフ距離の増分 ‖Zₜ‖ が複素マルティングール項の実部と局所時間の増分の和に等しいことを示す。
• タナカの公式を用いて定理1を証明する：‖Zₜ‖ − Lₜ は ℤ 上の単純な対称的ランダムウォークである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アイゼンシュタイン整数 ℤ[ζ] 上の対称的ランダムウォークに対して、どのように確率的微分積分学の枠組みを構築できるか？
• RQ2 このようなウォークのための局所時間の正しい定義は何か？ そして幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ3 パリジアンウォークのダイナミクス下で、ℤ[ζ] 上の複素関数に対して離散的イトの公式を導出できるか？
• RQ4 グラフ距離の変化をマルティングールと局所時間の成分に分解するタナカ型の公式が存在するか？
• RQ5 グラフ距離と局所時間の差が単純な対称的ランダムウォークであるかどうか？ もしそうならば、その理由は何か？

主な発見

• 集合 P = {0, 1, 1+ζ} からのグラフ距離から局所時間 Lₜ を差し引くと、ℤ 上の単純な対称的ランダムウォークが得られる。
• 局所時間 Lₜ は、3つの閉領域 A̅₁, A̅₃, A̅₅ からの脱出回数を数えるものであり、これらは格子の放射線と境界集合の和集合によって定義される。
• 任意の複素関数 f に対して、ℤ[ζ] 上で離散的イトの公式を導出し、f(Zₜ₊₁) − f(Zₜ) を ΔZₜ, ΔZ̄ₜ および離散ラプラシアン項で表す。
• タナカの公式を確立：‖Zₜ₊₁‖ − ‖Zₜ‖ = (2/3)Re[(1−ζ²)(φₜΔZₜ + ψₜΔZ̄ₜ)] + (Lₜ₊₁ − Lₜ) が成り立ち、φₜ および ψₜ は指標関数に基づく過程である。
• (Z, Z̄) に対してマルティングール表現性が成り立つ。つまり、任意の複素数値 Fₜ-マルティングールは、Z および Z̄ に関するストラスリッチ積分として表現可能である。
• 離散的イトおよびタナカの公式は、適切なスケーリングの下で連続的対応物に収束し、パリジアンウォークが平面上のブラウン運動の離散的類似物であることを確認する。